← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (-191808012812472115542740543068a^{2} + 187910039941512237535926820952a + 121645113644852387704591117880 )x^{46} + (-450136230495288279285311078256a^{2} + 282920774801673530088483186280a + 309382775224051928847617143768 )x^{45} + (-574309053243159579742844352352a^{2} - 73637742909694199549685747416a - 322296878719704827370986407468 )x^{44} + (-439684162977892524865739882048a^{2} - 621639624180514484024251068448a - 306920245275467278954106491920 )x^{43} + (163274462977950094982212302156a^{2} + 216148190506285284345335632620a - 524809344751667859929920509044 )x^{42} + (541026864817929399313313439184a^{2} + 167351593442179277363264994584a - 55201130218450355669274744432 )x^{41} + (-278198797979853465172243076568a^{2} + 151124159758398081726399896956a + 240819837897247460563948013192 )x^{40} + (196362881292059080641945677920a^{2} + 39282538442361815948878198704a - 80017803730484775133777663920 )x^{39} + (-219049220301857650674961084792a^{2} + 256729364593338938796111231696a + 621402556241759317060560646920 )x^{38} + (-86669704558647613035706871600a^{2} + 544897504717834474292936385952a - 2103134509940066205350903744 )x^{37} + (-392911216594122979960334569080a^{2} - 521534842643533297239899039836a - 257954600844319124795017933204 )x^{36} + (478526855609306911398420008576a^{2} - 356597921090622345600920238640a + 511109482424053161368604330736 )x^{35} + (625913036349322108131600313052a^{2} - 158207489502254739082261023932a + 357894294073672578022161550364 )x^{34} + (163405906862760360088908939792a^{2} - 179836297254432618946132509744a - 138700211875559740960255529280 )x^{33} + (621869645695591136101824617930a^{2} - 27549696320220804431093169240a + 94367669903853411618869544126 )x^{32} + (487650393706996443899626981600a^{2} + 416446507784844611773484078672a + 467818706711260720981602832112 )x^{31} + (-632172718963808837432736372528a^{2} + 303069606367886374126839529736a - 140511240526739747909386795400 )x^{30} + (500357928072684462676563223336a^{2} - 258108603903976791554011962016a + 415445178969537803427257742336 )x^{29} + (447712938967375192677796140312a^{2} - 591286143365831818314666066124a + 610906814389072993707289376860 )x^{28} + (-445588358873024601755058622208a^{2} - 614526164045823297297587970816a + 230066312187529113734839497696 )x^{27} + (33517197844506299921327230272a^{2} - 401906126331866990201559146368a + 291406311943790538773234775904 )x^{26} + (-207009583203311357588874894464a^{2} + 216079182362298007326692179488a + 78737369057908637409875108480 )x^{25} + (-231077042429317560295857798188a^{2} + 551177540037906151323495496384a - 616667122605381855532380775248 )x^{24} + (-216404535951113018346266971712a^{2} - 156833417482288570327514869632a + 6773107354723859664673596528 )x^{23} + (-497479057291211272065549147560a^{2} - 458676478719332165844338363088a + 473897920050218371606636620656 )x^{22} + (254447163912033415921838964000a^{2} - 439193012864684683965378834768a + 126573738741022263887881109984 )x^{21} + (8907582095766460976889872680a^{2} - 272045405824471759172866372776a - 355485824763649263267756076880 )x^{20} + (44793195547934056899819799328a^{2} - 302971585702922398859826559264a - 90314713204754810666113684832 )x^{19} + (525118488437813780793310344360a^{2} + 76538344256323687909218570680a - 73859612587883734795830985584 )x^{18} + (-95827813740891309292250618480a^{2} - 480517812177562060702407027936a + 61641697777136110696261613872 )x^{17} + (215951538249888321683964469772a^{2} + 395159363318385685256843008484a - 574120437773237356727042933592 )x^{16} + (-263500065991096390591358460096a^{2} + 171567736065311765906605952384a + 110358775435058558193443245280 )x^{15} + (190869863710704549525454778448a^{2} - 578932289713978823604296248024a + 496895511625637598317724125872 )x^{14} + (-25040504184476990514936244000a^{2} - 552019903336503959363514557504a - 285958853650754631110342139984 )x^{13} + (-178597708703745626950904964200a^{2} + 237714203211846445620263779472a + 21657281620512772260743585408 )x^{12} + (-544075395328751738687712581728a^{2} - 370459296262689657675441158016a - 752855308383798907957004096 )x^{11} + (485724963966247029606540933896a^{2} + 370623883298303962844440488488a - 507451123450874325781703027144 )x^{10} + (430881382294346477731516561760a^{2} - 240454330106182446295982832192a + 303948419628013477554970866528 )x^{9} + (-599744537647165377295612930028a^{2} + 108178478969374202823608835264a - 464886519925605483758069270540 )x^{8} + (583126922488249021767602130016a^{2} - 74505800474187453741384938272a + 605445951770518921218490860864 )x^{7} + (-119704323560389058388522582736a^{2} + 190405711771094531153485624352a - 229613105936294338321174639728 )x^{6} + (-474943774886868594166296403840a^{2} - 436532982949153189037125279904a + 279946509033093126997316593984 )x^{5} + (302866028306896165236478737808a^{2} + 446447344135265358672464402728a - 481462837116142407281436551928 )x^{4} + (54462271876305617691863290176a^{2} - 237868456801260600848964259392a - 551760956223643650166792462208 )x^{3} + (528721964758300751146222438976a^{2} + 209690324024199408019115905648a + 273755234374876814008757112768 )x^{2} + (253283839934886029882871697344a^{2} - 25845392247790438382558782208a - 633581878136157264161740277152 )x - 94778783192710147945844639336a^{2} - 123719246291890109283663988976a + 197372114672677040980381966700 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary