← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (283437817430610988365353990156a^{2} - 29276354455277373357301134976a + 59223289821764374249534442488 )x^{46} + (-538234359271400230898903799920a^{2} - 98945147273741530973644822952a + 263961159607811811525176903272 )x^{45} + (-621639377667861849457056797744a^{2} - 420817373914500814962465927352a + 578919629929898714790251331852 )x^{44} + (-311357947740370729518648783216a^{2} + 141158327904075065479650072688a - 612103921654655292142902963952 )x^{43} + (-433090066165945492419218621140a^{2} - 225809670191998645154535763692a + 45286073399212506792051373292 )x^{42} + (201161795554793203190602098048a^{2} - 368643554271319579047697768240a - 249812686051156034081722197816 )x^{41} + (11063480340750902028916702808a^{2} + 416705738895990491372812536008a - 241214253933377699470701344336 )x^{40} + (-514420398518323807083805638048a^{2} + 234612365471110214193702761904a - 555857386230514065096570795472 )x^{39} + (-142342048254375755356411864104a^{2} + 182742351880860003302794705528a + 80555474021431645145853324528 )x^{38} + (-292686556620331688522332967696a^{2} + 601528198873075799026536018528a + 87858725613040745844459702544 )x^{37} + (429600039473740787883294455248a^{2} + 310880820969192648266480071916a - 69212362000452826128563835580 )x^{36} + (-305407060655159473070185415472a^{2} + 188855850537468756845355904640a + 384027013535853453527481057984 )x^{35} + (155744278468682921481336766764a^{2} - 37546326135238823700074797428a - 372357683716362460789046813620 )x^{34} + (-521546291671222873264821253824a^{2} + 573673476647282213429744940688a + 564846411552347003858016868576 )x^{33} + (-102010666312062810862606197582a^{2} - 422391735464517833590871025292a - 472546752934690701593484703850 )x^{32} + (545141495092014589788601934688a^{2} + 417527365906381896344029122000a - 522572491445635565907142740688 )x^{31} + (-226198884451939925919192006880a^{2} + 147236337652618540836005505512a + 330896451776877159928808873304 )x^{30} + (111802959370946902633426796456a^{2} - 89351162269220485898832800160a + 578443496330313936706031693440 )x^{29} + (-555960969414774929347919465520a^{2} + 248938466133303967714303249236a - 428578611722784685268993778764 )x^{28} + (548815555845224854979192239840a^{2} + 416719418280295813845104407872a + 487893883454874898829834588224 )x^{27} + (-606045367607320364436420465288a^{2} - 112936779906950002652277929232a + 452697898315683097081009106048 )x^{26} + (573657967513512546740506769920a^{2} - 334368724433444051225676204592a + 43774631662951370191373379296 )x^{25} + (-148514551815656639187634295636a^{2} - 420863856710675037206202504080a + 185266433700875216731667485144 )x^{24} + (-448314027421565359035288123648a^{2} - 246272454149948458454039846272a + 446480092033060242595638516336 )x^{23} + (402153274670905515662815827784a^{2} - 335661566909337531693766186608a + 93125129499657309519745442208 )x^{22} + (-309271701325355606353246947520a^{2} - 343640760802459601747444193040a - 559359341480836724450057625600 )x^{21} + (282638702289809474291895016480a^{2} - 82108881144712913652229395936a + 105229967239476020850720017872 )x^{20} + (131097315980865385985752290976a^{2} + 567622186162983536958549751712a - 236765089922436179782140454208 )x^{19} + (411033097501107213828287279224a^{2} - 351369606067058085821723084872a + 411342369314427994784005139632 )x^{18} + (-513040678647754652570831952784a^{2} - 490540676592524452782315338880a - 401835102817356824048324221392 )x^{17} + (-521387750714915589886876770948a^{2} + 231451032337856875712584485548a - 414933710728776618817296916728 )x^{16} + (-215189277008549944942758776384a^{2} - 532431877998259656446236561472a + 614318040802339883979934520160 )x^{15} + (524077971474404683705501484784a^{2} - 486052182201277148281940491736a - 268245825188274332985524535696 )x^{14} + (-338099429113755158645482287328a^{2} + 315844187072014899966143734240a - 35412847085098587166460473104 )x^{13} + (-531193653137369620444713026792a^{2} - 238091321942159057164483880016a + 177311304315726469544732632224 )x^{12} + (44034613529235543339474557600a^{2} + 440507052504801091212950305536a - 508422464280612032897739600320 )x^{11} + (313204683485656499757290110632a^{2} + 296724000806351388314128396760a - 64430892529404180556483904824 )x^{10} + (2427334206915515145789531648a^{2} - 570260054856118245113728028960a + 132537878724835923604439747936 )x^{9} + (-4029789789369783432041167436a^{2} - 398011784729333349408787567792a - 372796295883660219993253476876 )x^{8} + (272278134026978949210674859936a^{2} + 549908801549156350319563421856a - 164239768961575395111891764608 )x^{7} + (266174189587295996212979966480a^{2} + 233354496653688444856432475616a - 430041717613366062568194238544 )x^{6} + (386669797131024415615222316832a^{2} - 369079476291026539467532838848a + 197131167151471259968781961344 )x^{5} + (475611174657671033450538511728a^{2} - 463983298856920230613573928392a - 363525435021961431018563425720 )x^{4} + (-498065779981284513916532053056a^{2} - 253926278451480540365867344128a + 400991424724927304150928786624 )x^{3} + (272172215672301202163316412832a^{2} - 112389113426300539946787432848a - 44150125606688751581853337344 )x^{2} + (281800569184323165508287976960a^{2} + 129240598901719126103779588992a + 420960711524993006843967788768 )x + 187926993990571122004049988088a^{2} + 522855015035522194227616150240a + 121123459486113291706454359020 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary