← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (-377121644743238419023742495132a^{2} - 109861918514185081757514584640a + 303351266759752498762285754400 )x^{46} + (47284391152296549259632908800a^{2} - 551351626812133238642045048728a - 605607939997773030128278296264 )x^{45} + (-296979802661386519659535202856a^{2} - 68895353173121232122409295248a + 219366093186086238410587413036 )x^{44} + (456470594755457967928341694224a^{2} - 535066846788739248071127001280a + 544280241473802832930293007824 )x^{43} + (-38571450830613226060442020476a^{2} + 186530457484204318263365353916a - 325637373059239339737804494988 )x^{42} + (306145899042486173830793600208a^{2} + 123114410101064629816136042464a + 353380279054237879920927281600 )x^{41} + (426354395734593035122997634092a^{2} - 244590933887420585216342787840a + 135853838272936615861623054944 )x^{40} + (-535827304124125823578857351776a^{2} + 217415215873449030495333936272a + 529564147578698889916204591312 )x^{39} + (-590942885631244951367741593264a^{2} + 69335493651820807365465278352a + 597730304845057765363795170656 )x^{38} + (98836813855563880691456775056a^{2} - 601201606298240694777256091872a + 631326942994317903777322705168 )x^{37} + (-464401914784379797911815748712a^{2} - 376216956898702717005668125036a - 27662359849347044882186672404 )x^{36} + (-483450315656974735208426399968a^{2} + 570326269657585886769563200a + 95653232625601938854871343472 )x^{35} + (597412035566530799126347938012a^{2} + 452247490826771589648696791300a - 614076914879722337627578201068 )x^{34} + (449900689084286478794184034416a^{2} - 57065251142839912548359034512a - 549217442746674006679125344208 )x^{33} + (-586942994154209063390462918042a^{2} - 126283197770604579946464901908a - 254407538320085019292601663178 )x^{32} + (-304284573445359615957932618720a^{2} + 591355286999142301757042730896a - 619034878483566623257561946128 )x^{31} + (232638281837319185076353791664a^{2} - 59367385187463115786815003240a - 413683424155329118427652474168 )x^{30} + (-303481514169879507626554886424a^{2} + 174165698493056410408377588736a - 368959036747790151008169395616 )x^{29} + (632958488504631362422231597168a^{2} - 273673204936447572489533988548a - 441634795064494860600214196524 )x^{28} + (-4406400728507215898981355328a^{2} + 187060954571317556681311405472a - 7888352959199369366671838656 )x^{27} + (373541968220192735852374117200a^{2} + 439409433036839834736731465312a - 474801239041333378366507363256 )x^{26} + (392253310703387923070459780272a^{2} + 480107363902478119807724995552a - 456163754238022706932806852944 )x^{25} + (237248083781799731210984414188a^{2} - 197375429107953979356732592944a + 434238727457791759520483112336 )x^{24} + (278380003007104642025451183232a^{2} - 525607970511878539972291341568a - 56218410239143782152789513616 )x^{23} + (442587781941503285020399635208a^{2} + 557053059407732284161619162064a + 607821378313125278249237852112 )x^{22} + (-336589085966084363616370294656a^{2} - 458016701229839923083857115728a + 222260676332183169043081583840 )x^{21} + (482249070811751815349135511512a^{2} - 320357183544658385871620748824a + 577133754408134061635837344792 )x^{20} + (-565630536499142508027978536800a^{2} - 520950315592958479830767229344a - 126108177254160533668052826720 )x^{19} + (246720209888838283709158008408a^{2} + 8111239329010020500639785720a - 231767421021875717171496462912 )x^{18} + (555998569088924848952794907888a^{2} - 409685902051818203520657457952a - 363674548644150027417079269072 )x^{17} + (-534373265648426515188961913020a^{2} - 467454632221635125399969590276a + 484750276885814972908301966696 )x^{16} + (-618326440686793933113137397760a^{2} + 544918113633737432405266291008a + 357280700673428856882076453984 )x^{15} + (-161623298055972962189931991472a^{2} + 572886708514451433590163878120a + 573789547743375107928167544400 )x^{14} + (395176471491634586756427971808a^{2} + 279774375169553076774602192576a - 275200244801571918857203083472 )x^{13} + (-342819259390128990510995198776a^{2} + 271311170568315952051208047680a - 278942874862224197042127478656 )x^{12} + (567214560812056074025348207392a^{2} + 79520620721446513117323783424a + 74556133405002751454793215360 )x^{11} + (372410660467871294063577618792a^{2} + 304846357739764012632842187704a + 243493880223287285686807094200 )x^{10} + (252445297874978680283600958976a^{2} - 560055472423501973872553333824a + 128556889303396876853552254560 )x^{9} + (137173224404790921465818677892a^{2} - 125503795560312652447383983520a - 195598605222550406093816636572 )x^{8} + (-443566544617481844032439219616a^{2} + 3074082096819238362746861088a + 461780822992024660571888667200 )x^{7} + (-165642026462295392125367928912a^{2} + 537193223198027152666490431680a - 38309685398489051732748839696 )x^{6} + (400895360061605924923363990080a^{2} + 487557665257387414578714656800a - 523817560005969905851657888608 )x^{5} + (-443573108847514651250188981600a^{2} - 182522685515527411686856528984a + 544632218362709343775375182072 )x^{4} + (-574339268133720570338729420864a^{2} + 195262981622044499467305311232a - 567262432687586469372799520064 )x^{3} + (-320414580342696716738300698976a^{2} - 276168538680221592682229004400a - 28383567860847188777960261792 )x^{2} + (-375074637724159036910117733248a^{2} + 341280947638950271478762965376a + 27618414768156610889607788832 )x + 528659534634931827589166750088a^{2} - 338159534950811444861325624112a + 411908628591663990170589387692 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary