← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (596577746541340589669656047436a^{2} - 225695591771409528829711362120a + 201138721869023997437061138784 )x^{46} + (363495309983778778990299095616a^{2} - 484060342181550016365092142312a - 458500792437125364818305717208 )x^{45} + (-348763129863984554193555588136a^{2} + 534282957874153136216888337680a - 49793884363572280382011638380 )x^{44} + (2705832194749750387572617312a^{2} + 48136254231113691069153783536a + 366605257980438918792024674384 )x^{43} + (-554984188026717795894780892108a^{2} + 332379959653655101317378271764a + 186401055283286300208729072772 )x^{42} + (-386155693799520706188591203344a^{2} + 111619860335023557665953994040a - 474493902837617206145272150600 )x^{41} + (-448250823140412969601748463212a^{2} + 197171175152767227610037059612a - 494339793925103148247748915880 )x^{40} + (627949076080815473672599620384a^{2} + 621416494242261307624635889552a - 162578873327335668600769083408 )x^{39} + (72194181448675881114992813280a^{2} + 837944179291744120565726504a + 571710969059961979626357990216 )x^{38} + (-483504243040037599856465074928a^{2} + 146018187926246123351918591968a - 531816355500778348323487839328 )x^{37} + (596164062459337418818683621536a^{2} + 218127689384481846368447488876a - 441411785152403252037249254300 )x^{36} + (-47721455666001290814889918352a^{2} + 492509892366441761357834935760a - 530991463396315224648722340928 )x^{35} + (-281892738342391503140145378612a^{2} + 328983751109538361970378678444a + 579870265679616216274245508100 )x^{34} + (440593466778381918069373782240a^{2} - 282843676211917206854020174544a - 237000740976979087249127638640 )x^{33} + (230665730089044012521269976198a^{2} + 65182311009280411358133999720a + 152648605384605045076699855918 )x^{32} + (307037203264958921021288536096a^{2} + 70981055975253717250283260752a + 368140528825459533447985273392 )x^{31} + (16865801624926249778720308576a^{2} + 260092825823886928159917695896a - 185146143362646638273532516248 )x^{30} + (334514116365801145823959368104a^{2} - 204402742851679634925798357376a + 166987110714342321804043404448 )x^{29} + (353421193387454046225159611208a^{2} + 326125365442837511976823748716a + 456958809350252662688005228700 )x^{28} + (183610545765155785732552643616a^{2} + 384015917321197391403276980384a + 53572927575859994978034764256 )x^{27} + (-65555627841037168408312682584a^{2} - 231403041524480362498693916928a - 138181558822919719032754178936 )x^{26} + (-340745414237785833834719860368a^{2} - 518965485904590004889888532336a - 88750950141045788872456492592 )x^{25} + (455015583842754646393341641140a^{2} + 157411646963122663549257536224a - 138576531963814826354646018952 )x^{24} + (536001913401989018671021124928a^{2} - 227692829478875705433643026432a + 81272024866559304885476034288 )x^{23} + (577082002175409034249631309176a^{2} - 29749711627408006994839783216a - 166835983708454130015778442368 )x^{22} + (229901126829580436001936578080a^{2} - 204733712449769341997643255184a + 431973272722652268452251890112 )x^{21} + (235120716198715844141728019696a^{2} + 561288728489395708581824555344a - 568148824343824628033683229784 )x^{20} + (-282433972884749641641214771232a^{2} + 12613521104370876886666494816a + 322697971523666108228593321408 )x^{19} + (577245306976580965052742415048a^{2} - 572101311783659199730988928712a - 331420460358982624363537086528 )x^{18} + (-289092655256477239807359800432a^{2} + 491016729367616090786527464768a - 601271874336640043824083497456 )x^{17} + (188568864401977400028896432228a^{2} + 333190698725615687501360052804a - 14648552233971813749801200120 )x^{16} + (-251747125707111825574704368000a^{2} + 516934792491915899861835519616a + 288321359231382441464017784928 )x^{15} + (453274745015565408768776925936a^{2} + 385869652966009430666772472168a + 348055874557130833486442426384 )x^{14} + (402182715272682522734338281696a^{2} + 103057415542714307678999524960a + 630614884935301113218167086576 )x^{13} + (-545468579290775274342780494424a^{2} + 133431387248519195548161725600a - 110439837524993648950277734912 )x^{12} + (-375311286748549981570893739488a^{2} - 455463390198743217462190141824a + 196865516777601208758916762496 )x^{11} + (-448405509120098644620990118104a^{2} - 503485790046088412655419101496a + 145850456725625211341348125064 )x^{10} + (318966851283967129610387109152a^{2} - 83119050228378018116317593056a + 552586433428486482418488910304 )x^{9} + (-415357196733368896190378558012a^{2} + 202494045588939541969902450640a + 215725391869433656199176249252 )x^{8} + (102523445908089278069186299296a^{2} + 197778589630346712514675573600a + 541475539453847729242248975104 )x^{7} + (-74543280954750867403510044592a^{2} - 61795432200483965164316358144a + 466497452734011218496536688208 )x^{6} + (-620132432576798044267373698656a^{2} + 315558612297697825482320913280a + 129754032103247056095389130080 )x^{5} + (-116963498831764206811635233920a^{2} + 151343724785704495871625896568a - 533961748237598187181552189800 )x^{4} + (347261742998736016323409441216a^{2} + 237456559446150083712535486912a + 618579989681248268376414339200 )x^{3} + (-38254532234638689344153141088a^{2} - 449882545249482002471911979184a + 125127903687868534479502564416 )x^{2} + (429608899008366041140904481664a^{2} + 459441606102103341873620053312a + 397214411369572310080359061344 )x + 243802514374153357066179282696a^{2} + 57699801944481708530189970208a - 598721329480741021068328204404 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary