← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (54985213262174009517095515844a^{2} + 82500973492467367747713608060a + 13958971044129848462510693288 )x^{46} + (196845369597033143208777642048a^{2} - 317465530420387686902273790120a + 592972325996175606269201574200 )x^{45} + (242715649235673229541927232952a^{2} - 376641277927780258465406064788a - 102971388121636223330077363128 )x^{44} + (-513074845383197401017808520728a^{2} - 269858308379638570436740804976a - 265198682388632121668929530616 )x^{43} + (-45872242754979226888037568956a^{2} - 597576817463529473167373096348a + 199028101773325937910913278928 )x^{42} + (116936812479473891579740430992a^{2} - 88361407764537602730465489544a - 122182261937591208330128929664 )x^{41} + (-556239748944102123840358780812a^{2} - 329275291576900581746293949244a + 15753530148369331704690683480 )x^{40} + (-42058998888830303854101597104a^{2} - 101454819053934983369768598880a + 508986720612066430242250847152 )x^{39} + (265409780408631079900898394444a^{2} - 523550336397828843227143810212a + 392094698716991360999404222916 )x^{38} + (31395907076944264251987766712a^{2} - 510842018407279784065082629136a + 422008891621520317862254293016 )x^{37} + (-502484981759114476730226453628a^{2} - 576023356272042263180587523108a - 376494892932273220442570963408 )x^{36} + (574310170073229248733788230016a^{2} + 453970007925074127823767235008a - 487486756321945649680214209520 )x^{35} + (-151841778949012785726733398244a^{2} - 460098606124622224226933516052a - 190127885686161403103806967372 )x^{34} + (-459182788114566713726206232464a^{2} + 452917433960576255932573868216a + 595920731757542296583839397672 )x^{33} + (-210443119819909063497782363474a^{2} + 343328229957138017686208335366a - 102885824602062061359097991148 )x^{32} + (393785885189616264690372521056a^{2} - 249249008739793583889032340960a - 630708330056662945475799807008 )x^{31} + (-32745673382238490937502184136a^{2} + 160887476205172464820376219128a + 241540107268627125817640820064 )x^{30} + (-620541363401519499341343314120a^{2} - 294754337018232944202840173256a + 60098129172944375494232168080 )x^{29} + (274373186573018829520946808460a^{2} - 608187069889297844398990405356a + 177776653066854739424911158944 )x^{28} + (-484698162393285724298135255552a^{2} + 82897405236655309239374443232a - 59355385604829271218240613568 )x^{27} + (-418675814783257620000369326176a^{2} - 1658685461417302555236451480a - 127867640999260523460386845624 )x^{26} + (485408299058966754882471054968a^{2} - 531767359817264686000494479656a - 586404961555319567301152992976 )x^{25} + (-198018437804755774677297186968a^{2} - 45987781949556374836358059008a + 505346393124159299568255817504 )x^{24} + (-253850787620123948799306107616a^{2} + 64053043747849896775683489184a + 577485320609308693029048288672 )x^{23} + (-65472534073388272110214811824a^{2} - 230813427781482312060627095800a + 498120004673629229993576518864 )x^{22} + (414173168587892667851338404160a^{2} + 148805914365104896811240852288a + 63822272369024714361103615184 )x^{21} + (575158114334541697629041093872a^{2} - 104591517580452460615112586360a - 622093663887644621682016207704 )x^{20} + (-413081084575169663268192066080a^{2} + 405290178086919879341543546928a + 156003736156602984927186117040 )x^{19} + (99295093383003346558746163480a^{2} + 450504792942743080197434952128a - 157224768713451108723434677160 )x^{18} + (-453243163691366559385487883632a^{2} - 432549219633498555360772470400a - 13091177635763556274975491328 )x^{17} + (555774878870472131759393580272a^{2} + 121619460468136670521030553792a - 481995706846250365652199988764 )x^{16} + (-338533539176902306689449919456a^{2} - 631477053508957075823915418528a + 64145483427141011382962890464 )x^{15} + (-384626038443040365630732526976a^{2} - 91769605961502247212059357168a - 120837333205928301343789534592 )x^{14} + (-479117341988180874098111791424a^{2} + 560054969142284652450973348688a - 367491937848700678545466953776 )x^{13} + (-398484066568975144690254536632a^{2} - 586516340620716229175612903920a + 447648595107306672283707354384 )x^{12} + (32890453366638488653183683360a^{2} + 497069688487807379230216694720a + 98669573622535583744437237280 )x^{11} + (19456396931461554126614251368a^{2} + 589914615000322678595664635344a - 420799698082329467040672876512 )x^{10} + (33678005170701451533497342608a^{2} + 556270641951826511465697405680a + 424530447380354873964506746128 )x^{9} + (602364052262716729989778616488a^{2} + 404723610860490717364051346924a + 447578531154054114121933275264 )x^{8} + (-476004620573588256410627773440a^{2} + 269470493739839194835204976768a + 184334137230855774738625815872 )x^{7} + (-617345502283724715182464454240a^{2} + 222799138351302665870139007920a + 476502889473131387681246252912 )x^{6} + (-130016000196086004278290196800a^{2} - 326537573991401588882535661024a - 140132091033157944270068848352 )x^{5} + (-441107456229854859037101336016a^{2} + 601790026691601288695785934552a - 1517397354512072340427507472 )x^{4} + (211848952161159955056110162880a^{2} - 465040096681458382688541302048a + 92094097695245690416797905184 )x^{3} + (-137850558873203273190759274688a^{2} + 172404459421331837916623488816a + 235430363715601850752535110224 )x^{2} + (-410110484372334973390339861120a^{2} + 257266671980856757395387988720a + 4391040405681550942019636768 )x + 159534489624573788282586770448a^{2} - 167668069272394923769451673460a - 533390510390049085196623748936 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary