← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (30496477569291043753127141820a^{2} - 248076574859439836803478468532a + 280781243943485834757228499640 )x^{46} + (-199226571878866363732971204896a^{2} - 55292152617941935106581326792a + 174623956272809822859175529160 )x^{45} + (23640448370869693888652034936a^{2} - 348682211457559355417316458052a - 435991129340117630133339341824 )x^{44} + (-285952191365654812319808212488a^{2} + 490638778301032912801337962032a + 539665928728518155538379297864 )x^{43} + (546806055531290147971737197404a^{2} + 167694762321632839497144470628a - 573025860462422893042531610288 )x^{42} + (45128642412882346849522244880a^{2} + 28289749287661646238320569904a - 591443713830715628760260096344 )x^{41} + (-410270622282413463988870720076a^{2} - 631056473172002800324654341124a + 532661607002976518180012064220 )x^{40} + (-347781828355626222219164964560a^{2} - 510564926310919808003766666144a + 301646851900074248950877778128 )x^{39} + (-583715936078445842728014550548a^{2} + 597990011841630040294973038332a - 89511174195703581647326414108 )x^{38} + (546654861780503138971286598792a^{2} - 214242082616307444644241909696a + 467517294970215033962830224664 )x^{37} + (280729547249956428214878806972a^{2} - 486230350661722682831103124884a + 143069469088604306305669524752 )x^{36} + (56491708209704956495351661088a^{2} - 333502983169571430256455581312a - 47296965313406908822937291280 )x^{35} + (-77200642880945986230662227588a^{2} - 42790307426213979124282115924a - 612399241807923554326975193244 )x^{34} + (324616036392638865662762231456a^{2} - 388107895043857212894691449000a + 91566671587725202655988770376 )x^{33} + (223782550836981237092351758890a^{2} + 11388650072851886102465063198a + 625189178339196422593601995872 )x^{32} + (218243370946800584095920856192a^{2} + 343033245053118983301797572064a + 238429557076822456691542344064 )x^{31} + (159237552750207934868938336328a^{2} + 489552170525850852958522216552a - 549610050829076694748470336448 )x^{30} + (319221948538079815663916282232a^{2} - 165323801390324133742811480296a - 391369861333767778354457110384 )x^{29} + (619565918009258372365417506900a^{2} + 481543939863359253535922914812a + 336978127070756864794152972520 )x^{28} + (35429788961398701172272927776a^{2} + 123546807297236099033083617760a + 510846312188637722068080694368 )x^{27} + (96245651603387766126757089184a^{2} - 497306632952996965776752601048a + 411447045636797723799921294120 )x^{26} + (-241381533203002645517337772888a^{2} - 115263322443423573213648629768a - 483374066728428421837262211008 )x^{25} + (513318276371649169766070506624a^{2} + 280230294035357813598549563480a + 613856499630937210371110467408 )x^{24} + (-590299064258692715907638811456a^{2} + 132401979531046882609888599616a - 332817113033797320348332986304 )x^{23} + (212192151768173588697983562464a^{2} + 313435313562304917231495741352a - 375709124685550928532789179792 )x^{22} + (327348582666193890120205736384a^{2} + 156994473331384614574117809600a - 342813513062918650162105277232 )x^{21} + (-357715548310443025950993496760a^{2} - 558430378707898804420480987232a + 445063246079481146033667094536 )x^{20} + (-401353914747311581061278138144a^{2} - 587625252328520464371169433520a + 314734645410388612441855284656 )x^{19} + (61509101437487522012709819864a^{2} - 492990139755876739358427926608a - 480915241840100481686419988120 )x^{18} + (553659513405108589576651467248a^{2} + 278633326800905225933129078112a + 300961678228296096552391326720 )x^{17} + (113639148144582349142411356056a^{2} - 366313631745515370728903725336a + 475114644595659279820867934308 )x^{16} + (584549169858850017436432795680a^{2} - 576343633299647106340942033120a + 50872916809134855080149485600 )x^{15} + (-541472725220496490203044903008a^{2} - 354877333399615344025825044464a - 21123026286038586934549175456 )x^{14} + (235362239412529521080170107232a^{2} + 327874215006616344020566197520a + 161522909981794548048913790096 )x^{13} + (-81582697515302534597908333496a^{2} - 236858456896230166739736268576a - 94801059189108696975190155504 )x^{12} + (-439203034591894858230634297312a^{2} + 216719955986784178989128017056a + 528357928956722990333150012224 )x^{11} + (-79260792231687531877316433096a^{2} + 272764823248102389937426486944a + 218455680139549782484365312448 )x^{10} + (-306993123999466979731347746128a^{2} - 547949464119630674821504320368a + 165688109910244737940036817200 )x^{9} + (-130696053530056254315596903224a^{2} - 25964896837560329073341116324a + 483416357935330130250544043728 )x^{8} + (-271464053362243535440696393024a^{2} - 435706269260802111362984879680a - 333236270092272864611785241472 )x^{7} + (308654416743974852119940311104a^{2} + 46086830342930067657762043472a - 437830094672644082218384155760 )x^{6} + (-557061153299553662292283573120a^{2} - 510436446050850072266076669952a + 109190162862414119648669291328 )x^{5} + (-126296568430871306378381023936a^{2} - 101690515235033014792844153880a + 599511488608686203937663525024 )x^{4} + (-513484763028587353702226765824a^{2} - 273653417045638509157553849888a - 104009489124249012192630838752 )x^{3} + (-262785124284539450322686959120a^{2} + 431721513487915510800098356896a + 262929711338520571080831028864 )x^{2} + (510471474552184408937532655744a^{2} + 18180087015709544153645889328a - 188682474591551059115105971872 )x + 241028708306874666012947616464a^{2} - 467719378344890334277766772372a + 477764305867244661411946493336 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary