← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (-142190501351569873190895808732a^{2} - 255521704160723569239673523004a + 89865791790170196245147130616 )x^{46} + (585202283667774889409334990192a^{2} + 505148326543976780890345126488a - 45094676732218893689748855192 )x^{45} + (193050007608169518431923215424a^{2} - 601369688299564726011886151244a + 570113262634716127547370959024 )x^{44} + (-505481541224954543867484656888a^{2} - 518998048575230719566575082144a - 466949312495032761455570123128 )x^{43} + (-573650152941863402543809594164a^{2} + 55539632589043017756829124636a - 84354802667680876517493894960 )x^{42} + (-593982603448374805187357775072a^{2} + 418426360076818799275873083728a + 265014648296964574668830697840 )x^{41} + (-435799853683309536895506659676a^{2} - 466681217510188028629506352184a - 84976754321112297634175516212 )x^{40} + (-67460957546778296699969099312a^{2} + 604578297726128078043164342464a - 567781627937595538680247949776 )x^{39} + (82044993662790517723074566092a^{2} + 435842767265655104325634516460a + 605518834506233544820205684580 )x^{38} + (-85124321198968991465857485544a^{2} - 575124190565046933546118831056a - 293734609505389121347205288312 )x^{37} + (216783370950110519049880584972a^{2} - 352234733812536812827051020196a + 586539147148588495502365350288 )x^{36} + (544654056578677878765426484736a^{2} + 314961961740401705446509589920a - 269911795546122237969103690128 )x^{35} + (-418063806584753539763120129868a^{2} - 430318586096236298771848744244a - 467491714005252712606527772972 )x^{34} + (-31504896569226502105561941200a^{2} + 589779161288312531079236321960a - 128956475763478723275756453496 )x^{33} + (194734255912800458747179535506a^{2} - 408900350015751242720860276458a - 518410861090806245232045975796 )x^{32} + (324907626159826979399685070592a^{2} - 280870049551363933249327662848a + 31163577208160013553238378304 )x^{31} + (633742325607288213272633735432a^{2} - 355628182128065215270391869912a - 560608472716855915074120611552 )x^{30} + (10473158969722716182264345624a^{2} - 501488770812321184100789820872a + 503021029214260230737614869744 )x^{29} + (-621343990063242318502556115068a^{2} - 439186402753034699951310686268a + 288368973375313447518083025344 )x^{28} + (506579549805698421818029948416a^{2} + 161742822543160095367103908448a - 38383206691500035526321160128 )x^{27} + (37225844814646020204043549616a^{2} - 384512265875876025460771503992a + 55414645379961798715296245400 )x^{26} + (504010935772116813603423847592a^{2} + 456053233043974768824246975336a + 125669336327007119774269847728 )x^{25} + (-270345357072344077163849880560a^{2} - 47150655066257279720256594336a - 230832429667810209957023492640 )x^{24} + (-629462910374328941677228200224a^{2} + 517065924335957812163912064384a - 453172396755325373994439008160 )x^{23} + (443309810836292340460660362976a^{2} + 313771525466081458098738161208a - 348195145119146466616947019008 )x^{22} + (263703682368843308946465271392a^{2} + 331841843128326905903999837856a - 253365954578493287905914612624 )x^{21} + (-368181666026638821325002388400a^{2} + 499028906159021596530112632360a - 275149377547482554042799437280 )x^{20} + (389224461302968186423653684480a^{2} - 557227150341249517662547828944a - 368176590640165587139462786160 )x^{19} + (-553754006725336662950638797672a^{2} - 288974059252739669741807891808a - 305051033569442867286390829976 )x^{18} + (467669289359993181815996329904a^{2} - 128993282095043119026766147200a + 514812955885957100385708262880 )x^{17} + (594802985224329754816115371072a^{2} + 233217462329052403018808433760a - 16031701369524366357445792164 )x^{16} + (-44962230076802774472597938912a^{2} + 231291494941366005011497193312a - 491768570868512417924144905952 )x^{15} + (-3231591379980131835605121856a^{2} - 97165011396538149244360685680a + 202503537417794586457652684960 )x^{14} + (-492003644043244987334698671872a^{2} + 521049062319177001362626136688a + 62228483965541460431365775728 )x^{13} + (-438961562800420151411667286216a^{2} + 238462766368248697884310054640a - 586755105039326043434092485760 )x^{12} + (-547096489421062663091017407552a^{2} - 385887313984084313143897048064a + 91325496461538983311854233216 )x^{11} + (369001497690571701397191347064a^{2} + 619456516741426272165516972656a + 280799034027331728522027698592 )x^{10} + (602909179355821269534363030128a^{2} - 342352709784230162876497752560a + 388733344733594229055793789456 )x^{9} + (278601688017791592483250966696a^{2} - 186551000632869104752814494276a - 541925711066610631531378034096 )x^{8} + (-17129596177627464434986990976a^{2} + 84501975676871326585957571136a + 380622391870670809050594507200 )x^{7} + (-137218167605513893383415886880a^{2} - 124973833594112389049556545008a + 49839346596784422927530427728 )x^{6} + (-390457745920399374110419160800a^{2} + 313033975925737402086168422752a + 124900360993254180680790669120 )x^{5} + (371681467437090403427377921968a^{2} + 95910373337991738843850813048a + 364361432353505089155703629392 )x^{4} + (-54279915110237047953325761984a^{2} + 71554643918646801110366613152a - 453512718174772361897556096672 )x^{3} + (-576007654362747823014491877088a^{2} + 9824382431208946558777735168a - 399020215336801195721317695744 )x^{2} + (-407326704303238193183597166496a^{2} - 471075507017980574403389710832a + 327836158690823232579012361472 )x + 392841932565598659081184580032a^{2} - 513495993049505052039795378308a - 120562051552390294985072773336 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary