← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (-250295048039090460818020911412a^{2} + 148284320744490925023063098324a + 114647469289131900764582970488 )x^{46} + (-117470348291849857465649512080a^{2} + 163162114896808515937827512984a - 488109304553958507511161481608 )x^{45} + (366605894047378972124524314608a^{2} + 502854999688659942221949325956a + 389548518794690090649642932632 )x^{44} + (-124293103716021212163866814984a^{2} + 105344997519101573085401778304a - 172784341573761164832176620248 )x^{43} + (-127839701539438355783346873644a^{2} + 459170349402519206241163683900a + 196325424132839767278075028752 )x^{42} + (152478424555105514432808942992a^{2} + 463718302840081450015261072872a - 615390975785641861320910933064 )x^{41} + (492484608190037335962575823716a^{2} - 432522690490994443163868580280a + 400581283773769351291683811392 )x^{40} + (490191017988161855468704830960a^{2} + 154222076413202558591243358848a - 265166837779431623701062098736 )x^{39} + (-562697009563163332416514659028a^{2} + 48107366695425513018036558636a - 461093009623409704540633433884 )x^{38} + (-30735442265285323101220528920a^{2} - 456805187269039622561096437120a - 548541470841655584801194675224 )x^{37} + (132804045994547077551687482196a^{2} - 464785259244421214905926475620a + 100573714911004240474870067264 )x^{36} + (162840861555982450019383123744a^{2} - 348410855397197323345304203616a + 587190200014914378737330883472 )x^{35} + (98560171433347919258356405140a^{2} - 45475049271837578555165563060a - 516749016966019370733211067372 )x^{34} + (437716821404442216408801513152a^{2} + 607248856872024043025452151336a - 221511786280396392722292979992 )x^{33} + (406588781108684335127753543358a^{2} + 461999897306190963684219395950a - 540958041839363760464933062416 )x^{32} + (134173875796031274690278171232a^{2} + 470576516293973080670992715072a + 404505636412868822183704729952 )x^{31} + (-421911028515419157345777563560a^{2} + 392954022154569497341638994424a + 267159674141068075008794312096 )x^{30} + (72617692838362095499836186904a^{2} - 372500716982676211376290254504a + 330268222681377850339104275696 )x^{29} + (-470079912183746037231351363588a^{2} - 466575315104547400059896599076a - 6632760683787059644749039688 )x^{28} + (-295254454018967121448981013536a^{2} + 56310586432505273318796898528a - 516060894408022715430638680288 )x^{27} + (52324992244165179753325018384a^{2} - 415117216188257376091660510104a + 281727041933326498196554026680 )x^{26} + (581224777666491439707358267128a^{2} + 565140045721104862591477761448a - 579321800927648596716114875712 )x^{25} + (-633294226117292795930150180920a^{2} - 168776971262172366452320412120a + 589804651549016369880502947136 )x^{24} + (-363342046203664297735661398848a^{2} + 475313011636776832033094372640a - 2201007769821878107611683008 )x^{23} + (226735061972964039688161086928a^{2} + 618912565728105698561483270488a - 554791620341789474544612281696 )x^{22} + (-423863292183249958923716418400a^{2} + 191710055631037720536118784480a - 398736265059318111760334200144 )x^{21} + (520487848464422322528997934728a^{2} - 46496028640313059191881446464a + 563632070497992549996165209872 )x^{20} + (434518291646342738415058332288a^{2} - 416075463495048082177878565936a + 522072740046103202615595257424 )x^{19} + (-597497483376021084419762143240a^{2} + 529799458704983189050028048336a - 561756507105925159499622892456 )x^{18} + (-483837216075425150301831775760a^{2} - 603982374303375482218222950848a - 550838354764981716798607188896 )x^{17} + (587452482611130977114701722648a^{2} - 377927273350189200882039460936a - 521293278768042536080340446260 )x^{16} + (-302083050511613486287802526432a^{2} + 355132736130602687048699611808a - 223956508869243093886108429344 )x^{15} + (106453302032836402344296195040a^{2} - 333808764340475659939242405296a - 13068582835902539183521777024 )x^{14} + (-113134229929874849188537358624a^{2} + 108633783612595088158743833968a - 532753633341230129981665534928 )x^{13} + (-95825869848737979101746137608a^{2} + 219441093490115435757376461120a + 350841312225522928449046529056 )x^{12} + (-416052042715992174510069531136a^{2} - 44646945424956524777751703456a - 323026187239427528256892684960 )x^{11} + (-397571605925627223945357506808a^{2} - 487077978109429215719666858496a + 125600809291061925503118607744 )x^{10} + (248918558078842122045887058000a^{2} - 509845336114660653530375198480a - 587601120087376337370252202704 )x^{9} + (-339825886158046216353577789752a^{2} + 282951722493019909790094818988a + 382202710251612296462774266784 )x^{8} + (400761765790590648493213013568a^{2} + 490145478103049888298816911232a + 15527528650571443338072046720 )x^{7} + (-85493804197674185499431849344a^{2} - 215952358810974764478978445776a + 137864984484869251848174160560 )x^{6} + (434090948786554478231429055840a^{2} - 161139549997129234349881624448a - 362077356064470101566511286304 )x^{5} + (-299120789317533595330051848128a^{2} + 483216538640051469767429233736a - 545052044951690617590285221600 )x^{4} + (275361217570595514464291094272a^{2} + 382418579659260598111415827360a + 368440935371997791523375582304 )x^{3} + (200966155583576795521756369264a^{2} - 340084442477242889550519140720a + 286513892176947563857163142512 )x^{2} + (-106897518370623333475183238944a^{2} + 132080930131256371232356008144a - 611021934722486594005772932224 )x - 450164986637248352223390755328a^{2} + 303988078934171264607124448860a + 337029783886118018860912658088 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary