← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (276764456772883376975030802256a^{2} + 178756496259870275623400204268a + 594246343693872617006701498816 )x^{46} + (488748626640729006004123209984a^{2} + 361387008242520635591263708280a + 133045875097600010676119660176 )x^{45} + (-98298268508539155844807014448a^{2} - 530544350513462930314154989408a + 284036397925360489545498478444 )x^{44} + (-346075374716346300652483779696a^{2} + 560725329871603467140732345424a + 32491140357058146986121550992 )x^{43} + (116478034903022125426383119356a^{2} - 498246373080527613082737415524a + 164793543380065690229619566548 )x^{42} + (-628881059815671643294904219232a^{2} - 467970831647116890038442434488a + 114154128873150315151934308120 )x^{41} + (517897583356397547680090298876a^{2} + 460315030144705990595669771180a + 400865164048544754971294749312 )x^{40} + (276992264652806519256397552144a^{2} + 95624697079525400798843317776a + 441788568810868095276816065744 )x^{39} + (96634665498483939025682743512a^{2} - 327332312928044803434707878976a - 208303139365577722998064577856 )x^{38} + (-417464346359062476242790577040a^{2} + 416045770338611092387070405504a - 512907008376845269611668491664 )x^{37} + (360027444576768420384247263668a^{2} - 560230984062510657771064904236a - 539220812453486011299391914736 )x^{36} + (-71308966592554086557432174896a^{2} + 108663044557010586600656754400a + 119835079135051959751345414976 )x^{35} + (622067317257445473311152587168a^{2} + 181760244631470335197088314608a + 13427442033836161242243047264 )x^{34} + (-177015872958852010841573798376a^{2} - 282764555158404084688746740184a + 320654818715895179556628449712 )x^{33} + (-299289902410194894837229151728a^{2} - 166852544571222123357711281160a + 614010287722953326007478594360 )x^{32} + (-222994543306671517829548749520a^{2} + 192186327818684830055880951744a + 590553909307678157722359233952 )x^{31} + (-390121084812599352010774632480a^{2} - 284876820671154394921429580936a - 630539998904534871497213702560 )x^{30} + (-305518482913104847890718075112a^{2} + 495817750402422801240315581344a - 362708554541836726592077098464 )x^{29} + (545170571132249180971917902672a^{2} - 412071439000508280441518880776a - 564926126432488371841924895824 )x^{28} + (209569257317510641005717034592a^{2} - 233170556225140405686838477808a - 505198648829585635126425624752 )x^{27} + (544403267597825237078842814464a^{2} + 547703141111508094692182708944a - 212180070413274497738415273848 )x^{26} + (-73943662239013924146158918688a^{2} + 488670572247110582082813436912a + 366526608039286368625648162848 )x^{25} + (-164524686832439912773976308624a^{2} + 474675933639363690461410587288a + 12151882371019588003418588824 )x^{24} + (592680223043158945126860076976a^{2} + 628475892246845686301423600a + 477767006436847818160877895648 )x^{23} + (371735279349328487852942033568a^{2} - 34964290032279718775102995512a + 203553346433687181802093039696 )x^{22} + (162074725906349663643526947248a^{2} + 587224286303356036969056975296a + 345343441098574063735063782336 )x^{21} + (-84546075858649722160755270528a^{2} - 392385992663194764439287577056a + 279843804434825923985795355592 )x^{20} + (-509911278667371376120070448000a^{2} - 343732121837488575321073345664a + 285383700484153064005846234368 )x^{19} + (-392416409593390954292469898952a^{2} - 243868834405306821412237596552a + 553457711339727031917891206072 )x^{18} + (331335003887614722496372151040a^{2} - 550873784955607149069089968688a + 295139468060695846816744002512 )x^{17} + (442216407449784931000250840696a^{2} + 10218083925906214348437337560a - 173694701330921808335251443312 )x^{16} + (-430838137159657519313116118208a^{2} - 115062224610572285553307490848a - 473102538393010195952674632768 )x^{15} + (27044521916818921327746270064a^{2} + 162383156799942323329919590592a + 62145273824584183196796412896 )x^{14} + (-430408773632623207553771353056a^{2} - 403513393470923558420253175648a + 215595277208361528857673967008 )x^{13} + (195792905424870815419492247464a^{2} - 570335053922498488728381857912a + 373310624365735252845480334000 )x^{12} + (-146730091179960096015840084448a^{2} + 23337460229178890955810499584a + 620342056589742740929023450272 )x^{11} + (571246220453814311832829221568a^{2} - 72000522352798450778899788992a + 141544147496813385990225101920 )x^{10} + (78516352505037937159643220880a^{2} + 181257700521038064523655596048a + 452655500275247438847062608448 )x^{9} + (98745015119557224834371026752a^{2} + 148651001775971427416862752496a + 80377749922724648977716309520 )x^{8} + (587428556629624339709782366240a^{2} + 530938032028306184796811396608a + 321676740575352792034819840 )x^{7} + (354150355442697676213257668048a^{2} - 227707784565926590797238971104a - 328886280808816683193870026480 )x^{6} + (-517399249923572119493645564496a^{2} + 284323544450384001989922371456a + 263239714926632887696146609440 )x^{5} + (369176519646487326324512631360a^{2} - 473945051595151928860804679344a - 580281732718993368031582286656 )x^{4} + (-16693784655655710293142803712a^{2} + 536379879863952298782091082592a + 235941968256818462586536889824 )x^{3} + (-325308330791852974456741287616a^{2} - 288316271853606216544213525440a + 367665889938276235048026529136 )x^{2} + (327105534829068347823154346368a^{2} + 174077926614429388665421228960a - 334314319463344118109879464768 )x - 215978554781019008789848493328a^{2} + 63188734640536684022146152368a + 453414432754505559687186707580 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary