← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-481120045965256703868565740176a^{2} - 41622951568815687226208216916a + 270263098424325077134186008720 )x^{46} + (-48237664553855401697340687632a^{2} + 130121095981424984543810246968a - 138837174885835732494248911216 )x^{45} + (7933996246717389615943318608a^{2} + 41223432018685788789491187640a + 392093436520789586283584690972 )x^{44} + (-495163881297309255095633547408a^{2} - 268478890340012869926655996784a - 621964824703824602808145160512 )x^{43} + (-296582731710483589648928031484a^{2} - 114356394868408732077636424716a - 292055352362847619207402298012 )x^{42} + (-416015247213213268194979688488a^{2} - 549173595284617715214683192280a + 35946563774419202331001746624 )x^{41} + (-341557405845352548571288472420a^{2} - 364925820895688384811093911100a + 163253752341162409463675535512 )x^{40} + (-174335606217148280635652431984a^{2} - 500766345826050154425476414896a - 157032608494843407987247703632 )x^{39} + (409267811989962054694762681688a^{2} + 116393095164304029100834473008a - 261944253260933525944761723952 )x^{38} + (-243238335391143546954201917744a^{2} + 50737817609980633603409521600a + 36367565081225551600041528848 )x^{37} + (355180493932678363085805752444a^{2} - 612183376796792233656812999036a + 464242125948714013705816924200 )x^{36} + (335004933634655936933899691040a^{2} + 625199650802958248704015742592a - 336996203429728569912715457376 )x^{35} + (-176009027366722844882015670264a^{2} - 426323492160362624796884481176a + 115021873843129540944277117992 )x^{34} + (278423531746089665561566128520a^{2} + 324534946243633606065726894040a + 321249317673674278367139054848 )x^{33} + (-610262102051728161559233996960a^{2} - 585075983123362767708856288768a + 562709019006096962408538202552 )x^{32} + (613335266460189288252249931056a^{2} + 86213262679826831652765909632a - 564068164554961731625588102752 )x^{31} + (-466995747506188589308845655776a^{2} + 200646335679763454789252774664a - 202224984390996762531923849232 )x^{30} + (484011999369523171529571437816a^{2} - 44686932428889636829175349792a + 288035107833492171175397921984 )x^{29} + (271673834235211569097301369424a^{2} + 249617630947907421569416024136a - 557222578784999249140461685312 )x^{28} + (339634336152462671518927688448a^{2} + 470897194676770344867911256976a - 73006940324745675555823467760 )x^{27} + (-94312879228593797939186916528a^{2} - 108679044254450169807005866224a - 242425863722106563359117968296 )x^{26} + (34800635756972996964548567136a^{2} - 610677019698819179124800587536a + 138364412965506063849969722464 )x^{25} + (307986771341832003499913636544a^{2} - 243864697419662831433066362472a - 227666421429653268527817990704 )x^{24} + (258490510342564140981187800272a^{2} + 425504327051649840645005726288a - 147160593699052669878835847296 )x^{23} + (-550229770444866321049787753968a^{2} - 475836848056243778129440795160a - 578453250798789030405532513968 )x^{22} + (-435585514675800691532991132048a^{2} - 339605657111008448187598146208a - 279209111181888770245851806656 )x^{21} + (-31588425080089249320160992544a^{2} - 436111673355556684445104609088a - 525389958625304780844784036792 )x^{20} + (-458290422715544829102797597504a^{2} - 239772268738978564425544394560a - 145044856018882453880897178848 )x^{19} + (-178020469973668853274641835352a^{2} + 102835172603794852415188657832a - 205816135485310616774142682616 )x^{18} + (443217820931647039197587794352a^{2} + 43485219888269327801127789392a - 226822125563345562200843153376 )x^{17} + (-269583870507757978253170224664a^{2} - 613272481717458414300983613096a + 335444437461409000685022112944 )x^{16} + (433905816800520670783976239808a^{2} - 353001380591827988224500970912a - 276169933111903723893587253376 )x^{15} + (345779514794738295296888887696a^{2} + 60626167988698564902328662048a + 445093474731498126808840745056 )x^{14} + (-93502707992584736974315479648a^{2} + 550008820318150700210814342944a + 41263373866379948855735130208 )x^{13} + (197433057383563141000028339256a^{2} - 236900024958277316773746647160a - 43147352411806360607466568704 )x^{12} + (-266687265008291273673316656960a^{2} + 81526537801420288814027238848a - 9013168265671814055321495136 )x^{11} + (520503325200327938720407972752a^{2} - 574296775613855820792783425104a - 591060546859213985840633247152 )x^{10} + (435979466373110906069932480528a^{2} + 366483976480752032200480681392a + 88431842110385788888122587136 )x^{9} + (-324215380443352419531700348992a^{2} + 270594171865660492305636004864a + 571371657712709720604199268464 )x^{8} + (-408595526541470080465095220320a^{2} + 587360811342960298751437797696a - 352755195540145648576663142208 )x^{7} + (-409065810311649577459676537200a^{2} - 450318187190632675012304751232a - 627496325665729542959526091024 )x^{6} + (-505427540300749120490559778512a^{2} - 277316280500524302004076932256a - 163462879490378566612537825344 )x^{5} + (-626861996439084064583290148736a^{2} + 556789985854484926634776708272a + 175663479131245249720078332768 )x^{4} + (397135996225109523413627973696a^{2} - 359112095924441925475274814624a - 580972518376752859332264661408 )x^{3} + (559803543437493068040024656800a^{2} + 248070866322537053115436637024a + 69218590780518795704917100560 )x^{2} + (515401792200052739334222989568a^{2} - 24301789897027826781415108384a + 232390889584048055583293975936 )x + 27517622058990210754438426912a^{2} + 354809208698531375299527422016a + 375893686657822682348217220812 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary