← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-243540254308203712256991143840a^{2} + 221576733149763441091627730140a - 436039041161265631921888934272 )x^{46} + (101656314035542621068910238608a^{2} - 218972475050703594606319332584a - 272750579381134323199174775296 )x^{45} + (-391964111853162826082722325952a^{2} - 110129336465752592255151244640a + 573468764973964904667717991596 )x^{44} + (-197408847145085752859539091232a^{2} - 281302867925889773544946461072a - 370258317519744842744760549072 )x^{43} + (-388504411780562289181705828372a^{2} + 197235803924806761315696749316a + 581147433940420365304458922812 )x^{42} + (-112708615346425187068059788720a^{2} + 329547765842135307640424793304a + 496543303502696892228931844320 )x^{41} + (513407599361369793491833823164a^{2} - 437162315602584052958593540804a - 595544778253071580783206176128 )x^{40} + (252790716720662688739853772784a^{2} - 191303033624760141649897059696a + 159271734540929315438390278768 )x^{39} + (138927424686698795048157579256a^{2} + 127983810003331200660837996880a + 487407141266515150683034529120 )x^{38} + (41945897394898061962191145136a^{2} - 289402558154740142076094761792a - 405405312431961689421642137648 )x^{37} + (440807663162893151513287059580a^{2} - 22384524075162082079937313556a + 739434678170891603714538240 )x^{36} + (-507655560789517083258260160000a^{2} - 365434263476513394400048802768a - 232117349093558841865645504320 )x^{35} + (605718747630418421687823422200a^{2} + 9334397785586713859708907504a + 137472560861421938408361291096 )x^{34} + (-50515585014065376144397533512a^{2} - 593166629724292830573323999656a + 626581155229821070396010163328 )x^{33} + (414744964755042018665570661328a^{2} + 419190451085877757177175294896a + 472987140264620083268158156472 )x^{32} + (199008015935148865678544962480a^{2} - 402795104785733175172018378112a - 401794946382735037104362660960 )x^{31} + (-315023865892095089444689660576a^{2} - 524957360644410427300426905000a + 76763795285293204486658238800 )x^{30} + (484397735761918062471383408088a^{2} - 66518896011160056236058366464a - 562855622747189603082708695584 )x^{29} + (-524615000972353848449127622464a^{2} + 294876836160500012221102473176a - 50549650620268387853312173600 )x^{28} + (-116989382183811679317070558080a^{2} - 190317803175371695600686363888a + 114141016029661596619561175632 )x^{27} + (207263957972142468403912884032a^{2} + 608800209975207457186147793664a + 381751331381122958916049418664 )x^{26} + (181991449630879912115569827552a^{2} + 580532618764073821938334386640a - 149674428667940749233819903392 )x^{25} + (-139165522262994378634903920a^{2} - 445321581919134968143237377464a - 161825142405059489798707501200 )x^{24} + (-544138815554247524479515266640a^{2} - 90604151358936716349585492944a + 332633772052295286963492548032 )x^{23} + (35626836905026158956327530416a^{2} + 576664930258538703302150340664a + 186758453269255076087388696624 )x^{22} + (3631505543585442838941451920a^{2} + 117797826965090380869898933152a - 216495217857483863901692563104 )x^{21} + (-118338271788801260564790429888a^{2} + 59657386425714315016294293456a + 363378847195378068168933121176 )x^{20} + (210069372884025605473370613984a^{2} - 45984806131872939939662015808a + 217305747119689977624195238912 )x^{19} + (464822546537812324766394373944a^{2} - 319765781134799256558751732728a - 333241772113804054862356739880 )x^{18} + (178427145776806827400878178560a^{2} - 290340586814742727592750517200a + 189436881811894210367958602752 )x^{17} + (-85892331597356775909870290632a^{2} + 279788089186887705144241802424a + 429991588963803950250031406592 )x^{16} + (507232172647636362344593414080a^{2} - 305389032559028886537285839584a - 564477427421870337646511218240 )x^{15} + (-394165772089062520041884284240a^{2} - 594287930022957475677308662688a - 619274784639638553060639878368 )x^{14} + (-568218394173103074235166132512a^{2} + 304360427861531326482862484256a + 366243139968426642243271037216 )x^{13} + (-11894251263307897239491668040a^{2} + 351241341383745770769288115160a + 375927993215503824446515589040 )x^{12} + (-469599387141070280479841734016a^{2} + 388748747585660189642009503136a + 612745364223173056759867489312 )x^{11} + (350051491885938316091912882448a^{2} + 200275738783312708225211446592a + 57029045370392125250706889104 )x^{10} + (392504832574442149990472804592a^{2} + 162120608926477857977593030192a + 143326540060155533778704381248 )x^{9} + (-31315950769973115260358778528a^{2} - 401637219193469656710043204608a - 410232409212165699341353093456 )x^{8} + (-572318047076946885320186444960a^{2} + 3734361759838471694919341376a + 390545770352192211378773367360 )x^{7} + (488913755848409184378899503024a^{2} - 416935171237548125209527171872a + 305281553864110310547905391952 )x^{6} + (260234766579430971922230086864a^{2} + 414121054366494907077032702816a - 119292540493997309751294271424 )x^{5} + (48833998021437939141749119584a^{2} + 587183781530786779308699273104a + 122044862779855454746771871648 )x^{4} + (-251892379602786510697110303040a^{2} - 605248771407224231772839714592a + 448862128717026955547169167456 )x^{3} + (-315489379222963606300188436352a^{2} - 655158078513800930286342976a + 129896021615724798091100457744 )x^{2} + (93476883206730360273898503040a^{2} + 51395083345411807845844717216a - 327913137764304850537084753024 )x + 379362334268095682642275510592a^{2} - 307023378922897515266015378688a - 598004719016329656233325251636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary