← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-448313161621299349551245516160a^{2} - 373953523382821038312959880708a - 237153571104375547050330916656 )x^{46} + (537909248727788754780929369024a^{2} - 587269742424295670730366953096a + 53882048483818371795394612640 )x^{45} + (-548095247920510109903088250560a^{2} - 317249786103501964363946764728a + 580996196019219667486403233004 )x^{44} + (332280425483845843203642872128a^{2} + 222686525499379017416683676848a + 352037598678311903317628263008 )x^{43} + (195256979907723446660671175636a^{2} - 628753514598204836606251764148a + 618511927471075332897993241644 )x^{42} + (265121414217468084427688976808a^{2} - 618363766598042635686371510104a + 140348252841589876379244979000 )x^{41} + (247748271816777021492512289148a^{2} + 621558446117924273042328445892a - 433550201267180991944413435368 )x^{40} + (-313070175221496178287715490256a^{2} + 392344532906919878600505152400a + 393486775296420193333540732624 )x^{39} + (-406652358843910625655595495592a^{2} - 299592489946772612123572422816a + 95569044069508431425594828048 )x^{38} + (-3557104856297751822757472944a^{2} + 351009432359170541281243871744a + 45826410810430289906746632304 )x^{37} + (147158617591517896304659527124a^{2} + 588843297610819499510744480940a - 492757088287993197506461734712 )x^{36} + (152172068614177486387121699280a^{2} + 127284467657876877496446601872a + 589825778182139219603926501152 )x^{35} + (-513201602519999471250309723728a^{2} + 463787589941571609055578051256a + 411155587467394450267008803984 )x^{34} + (439234001142077648666300518664a^{2} + 118183871310345744142747098056a + 495254881805132888340279164240 )x^{33} + (112398304824591755455011932224a^{2} + 550910202190540202580424492888a - 134171522597153654323970520056 )x^{32} + (466704003659502753288476159664a^{2} + 443432946231200157657842138560a - 339905522615773376062009519072 )x^{31} + (579505458358220131851129823232a^{2} - 457298649139137274353425991800a + 335342496166391150069446285152 )x^{30} + (-111671585906416529500457675080a^{2} + 223454810987918635564032128128a - 619467960697786068721433811200 )x^{29} + (-400483415415153903493614636032a^{2} + 340546683795619175625432046792a + 226940993515340359249243191664 )x^{28} + (628968165738596817270611949344a^{2} + 532552457927711470858554810832a + 159865099477688572262896425872 )x^{27} + (-458791226592339511362621096752a^{2} + 482676315560596500402630865248a + 417038406275811095904153045656 )x^{26} + (165743812439375356272411076960a^{2} - 10527104564330063598378022448a - 606705237677846838163513524576 )x^{25} + (-585351800196121707119993206256a^{2} - 245073809246311971412681451448a - 372448680222480972242526191400 )x^{24} + (575023655885552735652174277008a^{2} + 613007623123796836078071269456a - 254163610348194793873361480992 )x^{23} + (-298192547766511811607643159776a^{2} + 42057887544744300806252892984a - 176673247675040786984789518128 )x^{22} + (2303423285285520108798123408a^{2} + 126509952590001718952607542144a + 402999784561631549154140980832 )x^{21} + (519658950928168918927706903008a^{2} - 41676490610806686852312976752a + 38648105270287215961620889848 )x^{20} + (570767664545940177712280168608a^{2} + 552729038634662671628354516224a + 96110793953680321541419940640 )x^{19} + (-463138965465747789622470415704a^{2} - 48619074296050729547842886088a - 598580803836317977301239573624 )x^{18} + (-560973981695613355063239245744a^{2} + 395574277240835702449687675504a - 111763982160115976530020970448 )x^{17} + (203492498324928469856398234088a^{2} + 552794406516248012375046109496a + 201977644204368293491169408128 )x^{16} + (-411851797746196986274359332032a^{2} + 562463931624058811764699425184a - 376792075485423219013533608448 )x^{15} + (426288091538067022002293039120a^{2} - 135209699064464815375306078336a - 429860410959923003374466115360 )x^{14} + (251198503147840572876627747680a^{2} + 110560723873292289969783667360a - 61658960743587255546699250208 )x^{13} + (373649028373642633695963671656a^{2} - 204224898826638387065182355240a - 504192522990017175807683192384 )x^{12} + (-308016471077509725532149606752a^{2} + 431283364898537931246676838880a + 40711652374871058737429438368 )x^{11} + (-111046977418046964153046971968a^{2} + 566970650490409963413768547312a - 492272812171978604829820169344 )x^{10} + (382659407576483614758129706416a^{2} + 429281944965442334942178490384a - 41297753442289794780994116928 )x^{9} + (-276160731279819437982546033568a^{2} - 229447904931987907397554506576a + 138443262609447455690756131376 )x^{8} + (520010780288967328555006382944a^{2} + 231610525898269535286551071616a - 468138023558562559613097377536 )x^{7} + (48581834050669635070789873392a^{2} - 559216079378992340456796059392a - 566122492239911982714067419856 )x^{6} + (-589845033620590152138286493168a^{2} - 254442688000994514813183375232a - 94670353066206215008721944608 )x^{5} + (-153351551394052699254536990112a^{2} + 272266682552540454457007743536a + 90470718704511509967869346688 )x^{4} + (70054809934617707204381833344a^{2} + 624306231595530425233276352608a + 523169554739540747710780732128 )x^{3} + (-364829649105629439899293273696a^{2} - 483549265262308980482232007136a - 221766925319200567488666774032 )x^{2} + (-154030331523744116131566192640a^{2} - 500246214221552933899802533920a + 360003351530601737055873457216 )x - 126027480774281012802588000976a^{2} + 365877321226085194413074209008a - 517583917785170892523445440964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary