← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (-539638943269046209663706046000a^{2} - 140280840285937356917922833608a - 93752453280809145999266681408 )x^{46} + (-377115888585871702477956326136a^{2} + 83687432064759719211093486904a + 480440096121431745360191149504 )x^{45} + (78055033262096753411067596856a^{2} + 390813361442229780415215146860a - 560491648992540357695477202524 )x^{44} + (130771872076851720353258766352a^{2} - 628293408031837524871231297824a + 516688067569737983870700794304 )x^{43} + (-151449863235902857479059820536a^{2} + 554552769801469211082034632752a - 337088873987497961450038291692 )x^{42} + (289794885486397186742357621816a^{2} - 51552300423478897253563505920a - 627056178601656416446693643928 )x^{41} + (-331707801271797020047833219732a^{2} - 218951282256059352096092199108a + 548443988791962947611938677964 )x^{40} + (326655935200758445434773862528a^{2} + 201383256681264449214849481360a + 340086826830991763979760076576 )x^{39} + (-496549715368505050734873019696a^{2} + 391418716001579157409361650104a - 332053265450938996034185081088 )x^{38} + (-380499150255101950210592586760a^{2} - 545508365758238953000257581080a - 20284452394590835929755094384 )x^{37} + (339850857382743310086566689552a^{2} + 486618282998990767148203031216a - 569896503577196544775825619760 )x^{36} + (113564027039259440412810764176a^{2} + 448216100059044504922698731344a + 246816073456041167601343419456 )x^{35} + (8291068167276419411026339768a^{2} + 424675963065087516599780813344a - 138782001816576693835749043920 )x^{34} + (-24941994753965448536379358832a^{2} - 326313236706384325461260749816a + 377478886307954854824735298480 )x^{33} + (-283185843070265167011656877632a^{2} - 286358163524339618584958132784a - 462168812891618625896293015416 )x^{32} + (113804009771235716582322010704a^{2} - 541569195524698352424358675728a - 482829938693030077434166194896 )x^{31} + (-74398428141244806340925444296a^{2} + 187567016256635675121652062664a - 321130553330797060543777048712 )x^{30} + (320826632872697856369322041968a^{2} + 527563636027150182930881232416a - 95741246009730000037264959376 )x^{29} + (-610434829442268235317096628128a^{2} - 399085196636678838396605985464a - 208929813281540638248555683600 )x^{28} + (-445053510014552031493609975168a^{2} - 366201098763268685049403707776a - 142597868250373963410424322880 )x^{27} + (444929555483239486996777556432a^{2} + 132276395287827858864453991352a + 627562992752591763174895767616 )x^{26} + (-475739519246153690899719638480a^{2} + 373726580043216595121167254416a + 602495643518413327813198141152 )x^{25} + (-410316018202407713368784260668a^{2} - 593145725301064156019964592892a - 230315368492592350732816885100 )x^{24} + (90573881303228199886087372288a^{2} + 393726419371807070258151449888a - 198326350416555526193455436032 )x^{23} + (-507254049385989466857644042256a^{2} + 438850840049056281580841827600a + 416195156592675060141494828112 )x^{22} + (519351623623434325177080081168a^{2} - 327012029232227875296545254880a + 310328438450244463477684695664 )x^{21} + (-343054692127286895555913280200a^{2} + 561314358899114628304933966320a - 328355381314803779851858804632 )x^{20} + (517365131195567264537235006400a^{2} - 202149885906097678598393537504a - 547393617461220383471754948736 )x^{19} + (54221019173452106131554339600a^{2} - 549833045758908850339933338408a - 563840154048161932496426156920 )x^{18} + (-439519304649763109183720461136a^{2} + 229928737073269309968799883392a + 186158796984675606630514582240 )x^{17} + (417471106809429963830408984208a^{2} + 398392566974707187160012909144a + 604325873107631458752625108400 )x^{16} + (99722696940584521628472327200a^{2} - 500755139703567961553364228416a - 318998404117228594983718912224 )x^{15} + (178579199795753383437025751888a^{2} + 210887941384302590975583608720a - 631798669019702561305157130368 )x^{14} + (283315090069369858812045272384a^{2} + 280930764914069081764458546880a - 598892332834808673036712097872 )x^{13} + (231554402615658043795885965424a^{2} - 123967225266667063986058936608a + 80076837512951550198577128544 )x^{12} + (150461493364871699830525344640a^{2} - 389594854072621316006600408192a + 94530019306023292103409354848 )x^{11} + (-423383375646654848004153483472a^{2} + 235710197186145415413446288112a + 398787578113096663114716483216 )x^{10} + (-274609432651019854031695533136a^{2} + 247128729019191382923510792368a - 542089224563666139604574404288 )x^{9} + (337402839677112708502450723520a^{2} + 521775477734968585266415828656a + 483530245250925570018059532752 )x^{8} + (-462417136807852883290923697408a^{2} + 125647281948543886993124372256a - 255709749404617327234563943296 )x^{7} + (-305217362413578749533456913712a^{2} + 603991470711075057946889522112a + 363225075722036764426143568608 )x^{6} + (359668378386577468262376654816a^{2} + 509539919098715005572344793856a + 110531495749507906315957079040 )x^{5} + (91015272195824123797122460528a^{2} - 479379024390494419074588497680a - 450407209924383800166844196320 )x^{4} + (631414565420540584397490695616a^{2} + 150815943377984700954812427008a + 255429524755562520239401252288 )x^{3} + (451575280833272677864557229264a^{2} + 512085840497543023163329279856a - 542036913637460958814508957632 )x^{2} + (-619511704368687911360477834432a^{2} - 195463538887927792030942105216a + 88358348031831089600161721760 )x + 494054470080314484646257875276a^{2} + 167417750991169469964229469504a + 98183257832879111400844101228 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary