← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (527986307404327933634397056064a^{2} - 339596256855237157189354301272a - 569443396216081002231078545952 )x^{46} + (-47771110485319164510444245768a^{2} + 576418594863525718524991730120a + 22108391714594624656937531152 )x^{45} + (631464889977024736580394104848a^{2} + 546865407633487357090594349420a - 288198315899477467548155245860 )x^{44} + (572606594779551921791102753920a^{2} + 115868756663185628251537654928a + 63006943583534638741457932016 )x^{43} + (-31808781485592564489170861704a^{2} + 618289077754530748451780737984a - 470455126143522489907123378156 )x^{42} + (53333173202297849089769448360a^{2} + 436797955602974551837517251136a + 297529191985783564685305707032 )x^{41} + (591690300220055310546175225540a^{2} + 499130323961794244840885056244a + 501349483421644475330148707740 )x^{40} + (467549098089769986990291312448a^{2} + 246949279977450321601867463632a - 225780373545538623290510419424 )x^{39} + (-486562708918866181053368067936a^{2} - 338539109388583148635757594728a - 564494675350575250023563188992 )x^{38} + (-223512735936766013455845947608a^{2} - 421330061730006905721536086088a - 230245860312612467719149131296 )x^{37} + (-198166365898711641627131964800a^{2} - 170542741004318918171721300984a - 195687527101606218038439867984 )x^{36} + (50399578047267867736866544560a^{2} - 18210592537583725275036951152a - 227884574874574313922386310400 )x^{35} + (-556331833448264974937080904024a^{2} + 400775607112869220941429335728a + 294711815851271620678405302192 )x^{34} + (-81182320694357765430896888096a^{2} + 163204576318563632284905642984a - 567264682887635478160458014832 )x^{33} + (-19209116063721438365018481584a^{2} + 309011049633797919029399644928a + 543268028643790550281366018768 )x^{32} + (-342460298740620325516573290672a^{2} - 198373229465754356865841238352a - 537376595099990807294621472016 )x^{31} + (625726560285208078435712318296a^{2} - 520917458106815860375420511864a + 318455578231557660082176699464 )x^{30} + (457697259888068345836565758128a^{2} + 558615177772724191046029079488a - 30202034466222364894792576400 )x^{29} + (606353706104955496779059233008a^{2} - 131262817551270325873948896344a + 281698892768913695364363280224 )x^{28} + (234476123068901711634309311456a^{2} + 503572863573553975770048182976a - 561075081103977185452510792128 )x^{27} + (-282424202092501915276448109744a^{2} + 367949122185335527529724486296a - 626763049511102244534421117536 )x^{26} + (283281702359450573801064189856a^{2} + 244970039168768752773510280400a + 436928515743662862164027490160 )x^{25} + (-288085574630265444749948125132a^{2} - 233089680389647465016147812020a + 439611161665031683141360351100 )x^{24} + (35935671792127851168744466752a^{2} + 454304706986895854287479563232a + 442579426939409083818128334976 )x^{23} + (62060174486431479500579096944a^{2} - 390318624781143643467431583216a + 281878988396075939609914651472 )x^{22} + (-512995015712707035321984113904a^{2} + 98340846892421863376653194432a + 465275521505542845039776755024 )x^{21} + (-611701004607626445094909393176a^{2} - 44640432036961239302976887088a + 278211247545834866397466020504 )x^{20} + (-468951920546315420638942786368a^{2} - 40651299862614914943142553408a + 313299909928362155803271440512 )x^{19} + (-315365418604052754231594836800a^{2} + 549194195456282025245887132024a - 515206179913312675236622171336 )x^{18} + (92195610062093196493350476240a^{2} - 45471611769970724004289843104a + 112580912556682832458749614528 )x^{17} + (-80651430339989663721051134848a^{2} - 350943318462341210201344988840a - 307790981990358046957091362944 )x^{16} + (612511352546922304556424084384a^{2} + 403889558014329972977255103424a - 55198390680465953615600714208 )x^{15} + (-470872109545554808473527442480a^{2} + 150945143716088138932801828016a - 265771251462869609256515989344 )x^{14} + (-301626223702901082175974128768a^{2} + 18421131178334728519207930880a - 548289543727103807957908700432 )x^{13} + (-289302026192008466778542663376a^{2} + 347317082190685402500172933760a + 183555255551759228358133829616 )x^{12} + (-500258067529788514984281913152a^{2} - 511639660166133976422560913920a + 376440343694908201259611008032 )x^{11} + (621524048092435369248281608368a^{2} - 596025418731980594953499855760a + 473231785643647739464994537936 )x^{10} + (-600279028185315632737531190576a^{2} + 29759990601177719086664867792a + 434501313102299951918534382720 )x^{9} + (-30177988356070581912345436832a^{2} + 508731840610689586851395014720a + 236141441264686658471585245984 )x^{8} + (-359568884679491884810246161728a^{2} - 473303309368247069237790532576a + 208768081412525346221301921664 )x^{7} + (-491459773714404319445768214896a^{2} + 300750866141827936786997507200a + 4766198593622276343845416416 )x^{6} + (247373388125500737724412336608a^{2} - 611527345708647482619640235328a + 41921681832979060800132714816 )x^{5} + (222448714277653990972625444944a^{2} - 435707430583215683585858238480a + 372528086311998783249217354112 )x^{4} + (-204299928955040740642081434176a^{2} + 59229480418763218802255253696a - 232147340738771045068387738048 )x^{3} + (-195756202042313222493298459920a^{2} + 193254153183503788941520500432a + 614351467919129125964821722528 )x^{2} + (-487006610964866732233781013984a^{2} - 633156240376903372096476878464a + 110191237059640753222796488672 )x - 44917414446779413626677835828a^{2} + 260902640534862160103087320624a - 292268342091328902429305160276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary