← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (-221607871066350283493048555920a^{2} + 512716721609591976840993555176a - 492733841555101928343709045920 )x^{46} + (-425370388032209655091664956264a^{2} + 336394001103474808564977922520a + 610943853217458824303667204096 )x^{45} + (493513847686314028893090024456a^{2} - 389376643817275392133376618540a + 217610482693990003106424954300 )x^{44} + (-324825283843569663817239341840a^{2} - 165044749442523433100960509600a + 25073769739339320525672957456 )x^{43} + (190608574881601283944646864064a^{2} - 387072471949747381277759020272a - 122570210531353166361563919492 )x^{42} + (176703277516753906174443803800a^{2} + 88701216852994962449229255952a - 359730287565776237927921876152 )x^{41} + (-465623747170863501275448824396a^{2} - 608049652453404618489647428764a + 240599397306821436189449086172 )x^{40} + (-164561750459199254466588209504a^{2} + 576924382320450622172375369584a - 331063092443269081184616748288 )x^{39} + (-415440054283764421316634880464a^{2} - 542973556534114932809258530872a + 113878907966401090310204397152 )x^{38} + (-368326663342011242934353905608a^{2} - 245629844283708181270561194552a + 93809535132798724496321948576 )x^{37} + (549018364160409012331328069264a^{2} - 393227937523934344185995263064a + 572168883627273165292102602032 )x^{36} + (-357373663114142248782183891600a^{2} + 597803867223587991462365173584a + 80981102145387444971036118656 )x^{35} + (-278002544250914139100972423048a^{2} - 308909811254334777910378077760a + 630742671038697625386196002592 )x^{34} + (513612113410300983535135738208a^{2} - 93384736043096642943504213480a - 323072997311696472386490086176 )x^{33} + (-501887932907322598087935779416a^{2} + 90828052387379195396762544760a - 512089320405246121564707285664 )x^{32} + (80360467371228014641599420048a^{2} + 441820027011605310767371854640a + 90975730819852167628859742896 )x^{31} + (-614761829123737256123532671416a^{2} + 575412326471086254328156908280a - 245307185345290097247726356680 )x^{30} + (25035196620817897351030210128a^{2} - 553028228751057714755056706496a - 78848294203732416090816852848 )x^{29} + (-154870289470118773054787867424a^{2} + 417798661457703607210950029496a - 254280732685131471645954135776 )x^{28} + (331733455412334429376833122272a^{2} - 259744552823949051992532697024a + 120085677943524426876609694592 )x^{27} + (256197813622065478572915923712a^{2} - 131554494880866301413373238680a - 584268293013229882196259952752 )x^{26} + (-278602531413783965616961232720a^{2} + 291677705224187721983262957200a + 23655902145872880618178359440 )x^{25} + (77286668148916799578905298572a^{2} + 189993009476638925715184354812a + 306453110395481798839650807108 )x^{24} + (174063947575159899210974061312a^{2} - 197522069351825241981116786208a + 11931728295868505147546274880 )x^{23} + (100594790665875521639762048432a^{2} - 332695520904003328265016394288a - 532422843866829348876835388528 )x^{22} + (618577033193449152615640187088a^{2} - 406630635738256563130877425856a - 351897205530434476514035066768 )x^{21} + (261451549165530541727313952248a^{2} - 486594299159775513988800516912a - 317603793155424508813831651848 )x^{20} + (-25545650306091391584986848832a^{2} - 437950507261813260793810460928a - 621568660798200630945267129824 )x^{19} + (-24836803250184842479086167104a^{2} + 367424696859777583675010786120a + 43118258437063343542301120504 )x^{18} + (242735801297435445075858286704a^{2} - 626716613072426099826663635392a - 392812681576143405145322869248 )x^{17} + (424760354056659954045543718176a^{2} + 265255188120499234213815786568a - 608571881883839021903375965408 )x^{16} + (-83865652271919485115377985248a^{2} + 83686215125468013644523399104a + 319291409742317741953009261472 )x^{15} + (-341337616901612276014884258032a^{2} + 201899105225420733291775912528a - 368850962517003646815290777824 )x^{14} + (441798499078823308988524181120a^{2} + 480135096085373978646758247040a - 598484861487625249206504895568 )x^{13} + (18024812123187367316920463136a^{2} - 457171747010196792988570736880a + 165892460432321398812548007280 )x^{12} + (155222757173468420646629686336a^{2} - 186555846108548792053209166720a + 291465532273521738489206545888 )x^{11} + (-358444346899218122149023013008a^{2} - 250893988349670951940389539184a + 114658732261038107801116868240 )x^{10} + (222987206959515544428865709584a^{2} - 455799744462454703289469426192a - 480631080594522543002693902144 )x^{9} + (-432102129369845849497843761824a^{2} + 475043494264762456251386011424a - 348742546578270938751171641488 )x^{8} + (104635149112963828788861510976a^{2} + 8295288036342253130195981920a + 285239480575454378636596279040 )x^{7} + (-551076209813999457817465100592a^{2} - 525439684588300985927527300064a - 283057649096340380386993512928 )x^{6} + (-42694853535089985025344470560a^{2} - 128101334264014020188889816256a + 12296816455242385590210697984 )x^{5} + (512154403296531887695347248176a^{2} - 630155490492587948050354036880a - 549848902608954371500878728192 )x^{4} + (-237193676930238286893151672064a^{2} + 47792464984162376137844676992a + 257285801085272722072469530752 )x^{3} + (-62369754473006946861446842096a^{2} - 584294504290123958389946113648a - 37065570581493892257131589920 )x^{2} + (182893622701407763850480810176a^{2} - 10175424636801316681205375392a - 34837292539104447273403604032 )x + 379914659538346798800977695196a^{2} + 552646873827394491454478793088a - 6001190877314783136347072564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary