← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (306211238930908871526717748096a^{2} + 58816104193110426959218273336a - 511273935015262157355985016672 )x^{46} + (556502814385442147260466159272a^{2} - 127803318265083019913621756696a - 211917877174041154056043306448 )x^{45} + (-193783702921079002413429717664a^{2} - 570099955502323062311432036076a + 226338914070779148858419123396 )x^{44} + (-349738978150354369183652034080a^{2} + 431519747036632654911721459344a + 351262675132111360607616120512 )x^{43} + (88051446986287085033712355104a^{2} - 607670009313196154625433468784a - 136189148142492743297230743956 )x^{42} + (-167861593622184318587507479960a^{2} + 221375231882673247784000959568a - 487694361358685747455676973512 )x^{41} + (151169485656333564301529729676a^{2} + 118019071788721409569525211692a + 241216813765226055095872653644 )x^{40} + (-490916345447475175434862901600a^{2} - 41233969499427339085182190096a - 401865398612104919440282758144 )x^{39} + (423879026815051229669222007072a^{2} + 478992585141493277465722730472a - 516481093435468812228864832768 )x^{38} + (-470156798809725736159907361976a^{2} - 5839602350794497850064083176a - 480587327391200234239678100976 )x^{37} + (485098706282392969531526973792a^{2} + 327326722717225702538475607088a + 23021550705000467857978530384 )x^{36} + (-237693704535974037108680687920a^{2} + 304328166273408921541797085520a + 531262889970528008754598911808 )x^{35} + (390662744774129852570478423944a^{2} + 356742746383702081747708029008a + 396392527342329570290191718720 )x^{34} + (-249765307408998542895743019472a^{2} + 317838388353017597893879075576a + 549350590165348270544232400224 )x^{33} + (328672866741041987627758128008a^{2} - 261805028843185387212174867624a - 498566420322672312877743794872 )x^{32} + (573155989926852773834929559184a^{2} - 502994608470718720034708343696a - 243521740138307413964036311312 )x^{31} + (-233354914307375778660048276440a^{2} + 441629139277706942476360337624a - 593111359420257763078222439160 )x^{30} + (-579688274477422708866983398960a^{2} - 249750792698256867949409082400a - 544245855213663435940400505072 )x^{29} + (-144519052401931978237628459216a^{2} - 386395057354941643338341670760a + 110308896585484418186098324912 )x^{28} + (-392159035547637449033152083008a^{2} + 590385524922473680498090577472a + 196563380474981029659498616832 )x^{27} + (-89783230003862079748418526144a^{2} - 327453340804902133865347837496a + 471751888092524007974701074448 )x^{26} + (299129699422979894007423174112a^{2} - 48006020321835486072561429264a - 37821304510803763024848908160 )x^{25} + (94376269183713007471484639996a^{2} + 38586402644199204325652858820a + 486016428890856095004345896668 )x^{24} + (104925325109378450223091958592a^{2} - 62268486732558048214108995552a + 86244423530704084629069332160 )x^{23} + (11337271095220164240786910768a^{2} + 459050563882608951405596600144a - 129725033242103600556563605488 )x^{22} + (-203442593392797348352902054128a^{2} - 132882747978545233360337674592a - 418150545446046516563498272688 )x^{21} + (491128184057902656564852319432a^{2} - 145076289042865326313313766672a - 188492629586827190148442428536 )x^{20} + (343373400266514138095680289600a^{2} + 419152129501132165810923730848a - 94184482108027712931591363936 )x^{19} + (-18360890985612561348977375600a^{2} + 570806632423610608236653421192a - 32751772192507238911358152696 )x^{18} + (-169973914682236424335928017264a^{2} + 168394272116754048209948405920a - 110749834793217485321277511392 )x^{17} + (29128374531062403075702615920a^{2} - 242436108519384117376509385784a - 66260870869910686745916731184 )x^{16} + (-585545947067449723029343227744a^{2} + 497891980084074585236288636864a - 312862813908797106945001636448 )x^{15} + (-561399303667659678369490542512a^{2} - 583071234924592185883585481808a - 489106004091586684354458742720 )x^{14} + (-322096915941255387982756549312a^{2} - 400258281027946071298317887552a + 337662703041063790668003777392 )x^{13} + (-449594811187748575974657173088a^{2} - 13883202896257459031772569136a - 310289479102696564127189979296 )x^{12} + (107631617824940645443329345280a^{2} - 152440159389509720712872303232a + 216936603138683073426313544096 )x^{11} + (384491016614237970942719319088a^{2} + 26713767100261731274525144848a - 416582622760958862362391802416 )x^{10} + (-608030907128415484275177892752a^{2} + 579344446359340558673539685328a - 544595146618649654305285749120 )x^{9} + (-474257512498848982426566838400a^{2} - 295540167515138183305288711120a - 593255235917720942172209612672 )x^{8} + (-136640292710061426335148907520a^{2} - 435877720910092188780078691616a + 601340851155908032309103321088 )x^{7} + (263295756795825258517464728208a^{2} - 240111593045199746196262901792a + 345153319342286298433660401568 )x^{6} + (-567297835857529022246681143968a^{2} - 553879458580244902112860217856a - 196768930452652022900219099072 )x^{5} + (-255037279711012252447638263600a^{2} - 335266946184975502904552915152a - 141883184193858270007858849760 )x^{4} + (604871981561393645785743014016a^{2} - 69287683510223102378538827840a - 233195686854591304025000772736 )x^{3} + (505859126619446172116046272944a^{2} + 259305097163320045707862642992a + 48151289798249575920098267712 )x^{2} + (154510413132698668904577650272a^{2} - 427398499246183236299326485408a - 401378509540501065503064469248 )x + 469951060924683944741761180636a^{2} - 511226810145576387375244832144a + 454022395104352637276612585452 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary