← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-115234592501093775366222672896a^{2} - 34151176404014442144643274068a - 198911422875780848939872727232 )x^{46} + (455271954841944321396757403792a^{2} - 392491604699571246844993671384a - 6557917081072618169987939408 )x^{45} + (-548818879478884279526985704680a^{2} - 59969880810753315264692653984a - 439467602733607849705153723148 )x^{44} + (-379530603699982161780394106592a^{2} + 233404352161526443114666952784a - 200511670180187371618514355424 )x^{43} + (109916374876590713293059109708a^{2} - 72195773824362886589784433956a + 125084286351041702878717344260 )x^{42} + (-281626753975020510016947710688a^{2} + 126325854326334819478506687344a - 620760341791249802622467707296 )x^{41} + (-413176597097279730468475450804a^{2} + 617211035940265507618324151796a - 249377125646594211589359538944 )x^{40} + (-370781251696199731648465339952a^{2} - 485813727618213138716719385200a + 345068699463213837540144223344 )x^{39} + (603600059191781373999284280184a^{2} + 262617768944043414141532089728a - 601203911650264334932298616336 )x^{38} + (525895947496014791512294389840a^{2} + 268904100916072972992181224832a - 314599633746646447635556028592 )x^{37} + (-477713018430640923175195208020a^{2} + 468570405988229442634309788652a - 225667661387880518395912084992 )x^{36} + (-24740389589609715785216561264a^{2} + 158516107806637472653263370352a + 558055126384613263603563011616 )x^{35} + (487490636307790319885292699288a^{2} - 83747179669270182868285403216a + 315034686895923679321500490848 )x^{34} + (247637502806151856039853513032a^{2} - 562695968516333476141563352a - 11577838554827124644599851120 )x^{33} + (548696817381300202418747700504a^{2} + 534082476038829335032924482056a + 567424430412232240727483636584 )x^{32} + (-197924314119430103673926818384a^{2} - 283382070494336803082991183424a + 579113486547579240370631797024 )x^{31} + (-224100768889918874542422225680a^{2} - 342933364353950154795074103512a + 128421744845341730317660315760 )x^{30} + (-364598419622826584538118340552a^{2} - 374802442929347440827899064736a - 338239709848667061583783538752 )x^{29} + (224887633510631950511774250976a^{2} - 346705614361833737354114141480a + 311867475265801344087454812544 )x^{28} + (385068543919661641273748358240a^{2} + 114525298920600388423087039280a - 127100857022094203095789577040 )x^{27} + (71845219524046912787844997776a^{2} - 58180737970083940681993582688a + 77433259452492041782963122328 )x^{26} + (-383477401683395312387722229984a^{2} + 217591523656474042284076050800a - 401643118337464166799001977920 )x^{25} + (-405462083869351940052578216248a^{2} - 181029081272420355218148250400a - 176403773718653465306619673376 )x^{24} + (-595370779875544129535211722864a^{2} + 170606899872313215247319943984a - 245353637690351639469771112128 )x^{23} + (309698255198383729723980207392a^{2} - 156395896957766179514714074920a - 36037525093110728580454670944 )x^{22} + (-219371563263630970139010036048a^{2} + 299056440110316801833335710112a - 457596068268267790630787531712 )x^{21} + (-18118695186040948004895545984a^{2} - 429563709166772805061505117984a - 9890336659996440564582992008 )x^{20} + (-623683016052082380257270671968a^{2} - 410963591627169657675995840a + 605293018263557015218727792032 )x^{19} + (-91835469359393652494720581848a^{2} + 495872101981701457678909211384a + 488202934707093389434865401784 )x^{18} + (24895650090169167456362232096a^{2} - 508254219379945149864446460160a + 252925558001891103206492738752 )x^{17} + (-553103060250045131305500877464a^{2} + 585554609524417351492656548936a - 176667213455548823213551473792 )x^{16} + (445813512786254328431976180736a^{2} - 568036382994977228160321970400a - 615576906619584362352779242816 )x^{15} + (-188676106595999951216572252976a^{2} - 615794594202010328315138942784a - 14356420679506773465937301120 )x^{14} + (-46128111010747349692977922720a^{2} - 474360393960720902826654731232a - 272989801564931984021754653984 )x^{13} + (364703702906293628670399431128a^{2} + 299175602573116603635779833704a + 431683782202894916144921000512 )x^{12} + (-230150915855301261520512543520a^{2} + 357010920737583459308963289376a + 266123334708686731540685272032 )x^{11} + (319030706601847311831089395792a^{2} + 295872171286760981033716439392a + 406065013506988221401621629440 )x^{10} + (-404318360872626916141553731088a^{2} - 223595367967302323027356528272a + 135016119908321522707922440832 )x^{9} + (-31811553395654190315052222128a^{2} - 35263954073834060427974112624a - 309956458072463485763905802768 )x^{8} + (-191261226120757704043802684320a^{2} + 221938700911824499486758639808a - 45653016864661986233771888512 )x^{7} + (260137809149713296619950106512a^{2} + 417085179299573556983305541984a - 555515181396700924406238232464 )x^{6} + (-48549203420871463687609933360a^{2} + 461264189448805139830095741856a - 307428167080069907607863959008 )x^{5} + (535940730546674491016791640224a^{2} + 4563585754235928819262405008a - 117641596668122951791848219072 )x^{4} + (-459931309963755918715271500096a^{2} + 450136503744534549045806231840a - 26701536047180082341404227552 )x^{3} + (603389999077192175646218525504a^{2} + 532244004630321289683657274016a - 279597368424157472802324169072 )x^{2} + (593459697041764544842866438848a^{2} + 551799665438737888825620409312a + 319300582130481957593428491840 )x - 203998103482809832731700687584a^{2} + 620116109299932586237831468304a + 314282082397462424211714872908 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary