← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-518618371439004067536561495008a^{2} + 30432620652457894714979147276a - 23027521254598009679586182000 )x^{46} + (-316072589593777786130838937920a^{2} - 608234017477537437019978574776a - 428973451401500020324046255856 )x^{45} + (79453820037293377355901078504a^{2} - 565336200846637269214041477512a - 151889588026451335455529373132 )x^{44} + (-410978309800515555266473915712a^{2} - 463821250514488824551922579184a - 467048579431440822279789799376 )x^{43} + (14109520417780796362058213652a^{2} + 274668994893259662198154515188a - 116705763450130411300286286108 )x^{42} + (614160926442545004479870695064a^{2} - 561661206681880434485695829952a + 564880279953928776953249430984 )x^{41} + (72123134748374510053559795548a^{2} - 328622075921130475801108822580a + 295656459180934201862497598376 )x^{40} + (254239146941703051485755038864a^{2} - 511467129557228460326657312112a + 244379977191815482970210906448 )x^{39} + (-258326349049831527775262577352a^{2} - 283137847370281679855043170032a + 606182108443896902593695024768 )x^{38} + (584364117730697895504900290160a^{2} - 22313315089411288323809986048a + 334152994811262412430383888880 )x^{37} + (460758584208416518201122281636a^{2} + 434311756160668936810216172444a - 179757532522792373305010740680 )x^{36} + (569190484054926456026244477952a^{2} + 197407470667875260311812968816a + 301317525511618701027634413632 )x^{35} + (-382665101781186797694370156320a^{2} - 228312085790015507437180171112a + 509228925090385163142631226424 )x^{34} + (382157014136119101863782001336a^{2} - 191874572940833084989322392392a + 390312126986361098239721623712 )x^{33} + (-111042018070401187436704075752a^{2} + 219561461171622465538470147904a - 327030776889293789104972650632 )x^{32} + (106192988113887728016113489456a^{2} - 267620328305941490028297315840a - 499366765826345524963016398944 )x^{31} + (47667334930486756053029179408a^{2} + 619519642679982694389491279448a - 359909781984439102406040840000 )x^{30} + (-149956692852516259979354669032a^{2} + 435967224091909546725552219296a + 577808429437068711701329860576 )x^{29} + (-152528069514340290187501067680a^{2} - 417328376039859456659848879768a + 448418075689762630031282739088 )x^{28} + (304068970642225334204223064896a^{2} - 118768898514816844081202883728a + 546511179015851153925605553712 )x^{27} + (-64358964565241970464626737184a^{2} - 504687963359555292186565037920a + 426654766694667795108413765064 )x^{26} + (-472297968238091064423922639328a^{2} + 228685996157882173819582567984a - 589339794116603743487200403072 )x^{25} + (162820082917858249097909522504a^{2} + 66507932468329003063879071872a + 314087671726109151509893747960 )x^{24} + (68889388128325038032839328816a^{2} + 283191730968369567691278123536a - 527782918763206975314145797920 )x^{23} + (-173203327990539361039974201040a^{2} - 596529508374868430236711243208a + 553878319698762286610260590272 )x^{22} + (-516566172766264537339726045584a^{2} - 68002717040024453182181364864a + 350131351233887512456356158144 )x^{21} + (-252170244748734774986872148832a^{2} - 122530555069797417511323180416a - 23384754051516624472878925672 )x^{20} + (619646578107809125265266200992a^{2} - 400321662277546113225040076160a + 79891832809377228388098059072 )x^{19} + (-568921982621654045154976328296a^{2} + 504557541018298588086076333864a - 524601240718817980535443283544 )x^{18} + (403499629512788501548575910448a^{2} + 197579924428731388507965036640a - 616581548178482808529168768432 )x^{17} + (625662520981908110191585037368a^{2} + 558793422414758472271699989480a + 164488581484429543642730360928 )x^{16} + (-398505081218286670435524291328a^{2} - 493560451138630413852736560864a - 531256546010193711684459670272 )x^{15} + (-222964220394279321148628960208a^{2} - 267594122681859273554036952480a + 240516478027322426344138533952 )x^{14} + (-607913502485213612260439631776a^{2} + 515834745122267865791308481952a + 608785333994101054466917121824 )x^{13} + (133898043374621321308066398376a^{2} + 32171486859340626401969541256a + 507709803038462369620581460912 )x^{12} + (136410761558509635143927927488a^{2} - 331594619853985850137181168544a + 52123373011752072820538815072 )x^{11} + (-53618533843522400089513807456a^{2} - 405961033066461653381024423472a - 87722657088193289162182471920 )x^{10} + (-183974179626634672998367522960a^{2} + 71490110657200734067402588816a - 375772447252331432519606297088 )x^{9} + (321777331579595813757433115184a^{2} - 109145764783985951134931900992a - 209121511163169298985977788752 )x^{8} + (-228645419085711480953264236320a^{2} - 527933008490306685553950827776a + 387444264580411549802906756672 )x^{7} + (355352540773295994372469291472a^{2} - 289738473830528375839179224640a - 6184537608742426396771078960 )x^{6} + (276227851301295970319501280208a^{2} + 27599069948055538490827105024a + 402085162852976229040651073664 )x^{5} + (480438790770536820986234861856a^{2} - 576057554811754151517232173392a + 259200903077340883624713495392 )x^{4} + (499574535330334044251492350592a^{2} - 561312619251345481934745359840a - 74769184124470840909287278560 )x^{3} + (-328108264411739354050646987744a^{2} + 183421418360989781808788569280a + 615822790624422320606232948592 )x^{2} + (150518011793068220726110996544a^{2} - 46788719778936536348977306336a + 199458158755277562181067849472 )x - 505918218608558086207516792720a^{2} + 203286307184969991750154872768a - 206391367290202700233840138724 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary