← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (-76497142234430843333924606000a^{2} + 510950891566499767557757717244a - 377078641657802893336037227584 )x^{46} + (-120076506239133214101965930528a^{2} + 369308382858579663636605672616a + 580626045459513684500071641920 )x^{45} + (-144581660269359503759219146600a^{2} - 632025617647654049362571721808a + 288490077831801315370641474356 )x^{44} + (609731398814131158728669354640a^{2} + 73848694658452845598426459312a + 32722129918189011704526383296 )x^{43} + (-327281976805813165923558988180a^{2} - 581758377939150479683772762396a + 218487191725142433430611890940 )x^{42} + (-601086407090774819268354461056a^{2} - 106771013718709946255666398960a + 464991360230359905443101062072 )x^{41} + (-278119457712326587961194956788a^{2} - 132748091147397024232632408524a + 29478948328394670380025980528 )x^{40} + (-621102593695814732665831002960a^{2} - 485855224489072883093137593840a + 563946253206855965173293210448 )x^{39} + (363252003328782382059430563000a^{2} - 407183913230588302059331605648a - 395243203241914584391019639408 )x^{38} + (-275980447152999386760631556976a^{2} - 830648807408184418318381632a + 277978101980937334654693716080 )x^{37} + (-69629495577165398122155108492a^{2} - 433277852541072960525916422844a + 177593078225246202939963570448 )x^{36} + (44501990943317028756304679776a^{2} - 85077086940642015501113949504a - 432914548000164008131331602688 )x^{35} + (301795614658785770819291176880a^{2} + 1410832232550551147367787136a - 138874895719372446126340791480 )x^{34} + (-599638920929128745205414165304a^{2} - 484864993079903821424043004840a + 384660343989518831567290247456 )x^{33} + (-150000035538117416035009007176a^{2} - 445089201856898983347754507776a - 514393754968152299625269502824 )x^{32} + (-85634317854060618182081976656a^{2} - 595999501606162958653557514752a - 449296654903209969699701305184 )x^{31} + (100263002380323929196712856080a^{2} - 114086130073534410942874725912a - 359554597214698556544216257824 )x^{30} + (-123395406540950542072647976264a^{2} - 627198604321007945006307234816a - 535833751871272745870970139776 )x^{29} + (-224429796349214905434833756144a^{2} + 556006031943794748020014250616a - 598215803805900008623689356528 )x^{28} + (169925304974229374330444903296a^{2} - 563177881843634890536242765776a + 347405108375917857555601565488 )x^{27} + (605695761555608619513505348112a^{2} - 626908137280605230739972845360a + 498347736140881557013697775800 )x^{26} + (600985355302993264285865342752a^{2} - 600762853518665248236106010480a + 546601289650054887730414518976 )x^{25} + (524484950575331942861949572696a^{2} + 367478194268370457631347819072a + 518030440472844343765487166024 )x^{24} + (-509862642280803681865609520880a^{2} - 190669369421185067478996862992a + 612749943730721931064426882400 )x^{23} + (-499884945898892855998351422544a^{2} - 206241330506548178228196880120a + 586906597412397056493425226272 )x^{22} + (98643085036887893432623308944a^{2} - 613436391664037115216614286144a + 237159118813240537844014640672 )x^{21} + (203313301307317095632014870464a^{2} + 58869412851800315723278695408a - 298854420960733396690053418680 )x^{20} + (20693463393931339438169726016a^{2} - 448324324723418702257713639616a + 13335668369586215405237239328 )x^{19} + (-531328129204751303501188417848a^{2} + 486968368126439105644595156136a - 423985470174559189315726385896 )x^{18} + (47967987215302261118362865088a^{2} - 258959838715594798944626390336a - 63913547366780032649840788624 )x^{17} + (510379816842748500388587705288a^{2} - 57872552048441260314253548824a - 623121001277138307102906977744 )x^{16} + (-120933019532983044370622306560a^{2} + 557481070638146578233664581600a - 519102022177361348647492733120 )x^{15} + (-337818868717875422384784458544a^{2} + 268158733419493597256059774368a - 190929966681105250149686896256 )x^{14} + (354692228843880194745906354208a^{2} - 575146250823400976836245525088a + 628103331876863657468376568416 )x^{13} + (152743416507456840668583591624a^{2} - 65561772344125978134284453320a + 335697671021474346357420507936 )x^{12} + (-164601312962113519629910023424a^{2} - 145477324212279568790338905728a + 129917366007172139656445702624 )x^{11} + (-18041713893460141305404470336a^{2} - 168638547547223204716720434240a + 336808345606692244255612937008 )x^{10} + (404679762321149225838386502224a^{2} - 231665713374463294551859140528a + 117410003398348840349083362944 )x^{9} + (-410282281157807175043871818160a^{2} + 64510180610501136648744159328a - 467546629304942688017569026448 )x^{8} + (-329863378637518781175564976096a^{2} - 332134393862038950323680985216a - 215365383319972385407331885504 )x^{7} + (125091099975592476957367898160a^{2} - 212861902500531387588302362208a - 432854477840002026178349699728 )x^{6} + (164581310995178635152824294896a^{2} + 187545400095889849945196009280a + 184554136457277127463969982784 )x^{5} + (470996105487748826425356273408a^{2} + 24679221767363677466853515216a - 16589483655860801790969999392 )x^{4} + (370925823203283936190262787712a^{2} + 487976557849636922737510286752a - 315015954783593432723805868256 )x^{3} + (397749598482984770916317407168a^{2} - 568701470023339149353776022624a + 86494285284701239426307838640 )x^{2} + (110810325922100547081861650496a^{2} + 222027723973031958698345725792a + 28107538962314377884978071552 )x + 217212159631438971616480763792a^{2} - 144356507281539864366130543072a + 9172909343399765945857409660 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary