← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447309255159205493701782949608a^{2} - 167136190530959268443693184680a + 235621996348258398569734725120 )x^{47} + (73636481208862387581388845168a^{2} - 363107779155908163748690845252a - 393705533673164800490229159856 )x^{46} + (-591527219975561366537098115696a^{2} - 308928431462410818740301169304a + 429838012234059463717234113344 )x^{45} + (-141708552682941358410495356056a^{2} - 377724281594282075248979464552a - 81174412376780068940246695100 )x^{44} + (-599352635796952110566965527440a^{2} - 515061196101143441358982384208a - 382214969801261013122158165104 )x^{43} + (113843393225802639442974135380a^{2} - 414757173021673324437458696788a - 626266623211853464235144960676 )x^{42} + (222101254426841725152791077080a^{2} + 290171803701121345579292517360a + 81944610884927470306361237616 )x^{41} + (-25686105574328011019952476260a^{2} - 265601742603106056616620282756a + 312497543034257753452273605112 )x^{40} + (404081784505785883862421380528a^{2} - 461559514172192468286455018672a + 273928053303028684457877973040 )x^{39} + (-343656092983504546468920983976a^{2} - 52763262482700867200544042592a + 49057330619539055412664110144 )x^{38} + (-275504965390036918399399626896a^{2} - 99284216250701818687446595520a - 121457112334683664561248792432 )x^{37} + (290094589970860651688733678940a^{2} + 308369868165324242521364808132a - 356278874735061113463786198056 )x^{36} + (-188822700692629607927785577968a^{2} + 29192611883339221010925652352a + 157950343855795521996532550432 )x^{35} + (-83908279869009470203370482168a^{2} + 510928620100156822220871691640a - 467719468840844966114502345904 )x^{34} + (213925566970381996497083456536a^{2} - 401749774051216566775783070872a - 376498354942435130580534119952 )x^{33} + (111506813128436618476172276696a^{2} + 355164904471317893345284297016a + 485159805960859044403172310712 )x^{32} + (-290746213459026200480368681168a^{2} - 83371920647472935062936602432a + 420867139684235886042674627744 )x^{31} + (-372655975134380943191228138480a^{2} - 603218824715328628336616071176a + 425740282620105805678369700848 )x^{30} + (-6822483991772057467628338280a^{2} + 454905302081049682274007551616a + 42133624837617529193016273824 )x^{29} + (-355808102012496929793659540464a^{2} - 368550319690253932772113292504a - 175843881382386288965589838688 )x^{28} + (-170819277645771907695111420448a^{2} - 320355483276146737086274370512a - 587646806341906259638313283152 )x^{27} + (-220908736341371832585806897056a^{2} - 29833379521057840409268362256a + 459185823354226178776560145096 )x^{26} + (621679953292879872771228534304a^{2} - 28487655361689555766573406640a - 234925968828332931732203459456 )x^{25} + (20648438772782746415752077128a^{2} - 75873934172328110625404387168a + 245786979696036550763765382000 )x^{24} + (-114796352371423184358745632144a^{2} - 548131174791765604458378288368a + 351359071681508169528123206528 )x^{23} + (-515057704588990796302112099584a^{2} + 69952331183912161342434669576a + 405046762303278223163602254176 )x^{22} + (-387731561005466300430575824624a^{2} + 436019150665481668480674891360a + 42903436123827078356766855072 )x^{21} + (-293381637181330810384282877728a^{2} + 529132223166227543552614231408a + 379884064124813694928266752456 )x^{20} + (-216114040402097652465632249408a^{2} - 393743468147363992430676307840a - 415623058446422127537781223104 )x^{19} + (278759728071769251985338874744a^{2} - 250464590086465549668486043240a - 285041722892666587622358381848 )x^{18} + (-183264152230079415457827043216a^{2} + 590865847868276572115914166240a + 245696804766319482024094880352 )x^{17} + (-222810350021835490325092371368a^{2} + 569635052821431928744419933832a - 135007799518884697220437874128 )x^{16} + (-148841690994618528250671184896a^{2} + 280148470716729827425843764704a - 151152066750121322613942984192 )x^{15} + (557513596590780411786773752048a^{2} + 322523806697312079144613516160a - 74396009359219568774581752192 )x^{14} + (-349981817596225597939871212000a^{2} + 45523707719395414343298631200a - 632406191627070573913892505696 )x^{13} + (579963461279609468695745501112a^{2} + 355616196057479987686879833432a + 274708162249498516743845359760 )x^{12} + (-131452197625587747724234556320a^{2} + 609487566953851309414971310656a + 79119913486895622701978964064 )x^{11} + (295255660279565255551107121968a^{2} - 432963886524454676387948588560a + 352413630291156379763974799296 )x^{10} + (607813391630034282620193032464a^{2} - 612117309070626888054473019856a + 447308341262525778366177704256 )x^{9} + (-376841271488807293429276798224a^{2} - 178171851829234961881335560528a + 611559689308267631570560007888 )x^{8} + (254384231843261224513567922208a^{2} - 197741408324921571013633046336a - 489395947158723866792185292288 )x^{7} + (387850683109629318114801197680a^{2} - 66181212836247328052478631232a - 466155544125467888016118034992 )x^{6} + (-49251990143125515022822313424a^{2} + 515101049864397113301618343520a + 98965483260860072654342998048 )x^{5} + (437942552522246607165399517504a^{2} - 183600215255379026196679411152a + 601046322033350669358092765248 )x^{4} + (271279880222968373544187886016a^{2} - 469131689873073907496465838560a - 249049493597263215929442920672 )x^{3} + (325438942238795411304779024992a^{2} - 405433528550096521206110552320a - 213396276847353963574900923056 )x^{2} + (3586754094997208428590618304a^{2} + 140645699886831552708386239136a - 524232725465033138186641052992 )x + 208242656043180872501830064800a^{2} - 495019004158835843091539850320a - 148057524935154450421945905364 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary