← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (401297329093079117512615496384a^{2} + 252086963470999464640552375640a - 80406106841165248646146084432 )x^{46} + (424771407425326395818699546536a^{2} - 105743175398898273060847366760a + 173439058405434138244504305776 )x^{45} + (262807474770426193906107809256a^{2} + 438541269094845028044791901732a + 430969749218045483581049940820 )x^{44} + (209945466377687019216125587072a^{2} - 161028460722516449803168046960a - 625319500523035778201067606848 )x^{43} + (-187811782909397148260148068160a^{2} + 460722287534190602345305927464a + 619102329355177193013232581196 )x^{42} + (493574081050835824588447548840a^{2} - 393812669982872165421173737584a - 149945599139669348657474715080 )x^{41} + (27427718339575214139910773636a^{2} - 160711168116108128352961034812a - 298802561894433676216099229740 )x^{40} + (174217670410591858941988202816a^{2} + 89181152077714826021326849392a + 125579418139236225925343840096 )x^{39} + (387289682537421699350793220560a^{2} + 471792468760715852513992943768a - 79138991859920171426364979568 )x^{38} + (512674407883735953543492130504a^{2} + 193472299662457607825706486984a + 477074709045432159521526434624 )x^{37} + (-236311562156794270614828520552a^{2} + 577780955421537909459288431552a + 433452166082190549811667894400 )x^{36} + (-110401397595144357594895869872a^{2} - 234192630654082420286951140208a - 29441676120624481717355176128 )x^{35} + (-99724286196282651002113275208a^{2} - 406177168304108178993477924592a - 378195784143043647787025305888 )x^{34} + (195570303046232621287075977824a^{2} + 556643115518253118712913681560a - 236152539729929563387235211824 )x^{33} + (419465379139260583113233104672a^{2} + 227147081693608967768653726064a - 77479673045409033397003727488 )x^{32} + (-35650148409592776930903154416a^{2} + 627185706765414464702938912112a - 547571721972667668294356086352 )x^{31} + (-613491968058409882355545709976a^{2} - 139262923671628330142241040920a + 412300114098993463203794643864 )x^{30} + (355467176792133959412642158448a^{2} + 371630321764980771703874036096a + 613143837874682611270525089680 )x^{29} + (462948031829523035501758583904a^{2} - 152948944067775291150918239528a - 531002796309489929591253651504 )x^{28} + (238057171911402130017023289728a^{2} - 17973924716339382085294990944a - 66144736044886362824509517600 )x^{27} + (441253996591163233722753684640a^{2} + 418133617917567430807105142600a - 429971730952330024416591007648 )x^{26} + (339222373349758996334276731216a^{2} + 104597054175165701588219736128a + 272120857783263578588983805040 )x^{25} + (564056835423360441597870480444a^{2} + 440162170094169719270431047092a + 343395803837987100337344407548 )x^{24} + (161493360886837574075932238336a^{2} - 120789176063298284727929546720a - 620803470413218611419373912640 )x^{23} + (-575487100205958941209216782160a^{2} + 90355491539607279535048983536a + 609518997770744825835803198256 )x^{22} + (-359093731581087188348844346000a^{2} + 7086825214405102733790052224a - 486670865775659192318402608976 )x^{21} + (-914580612706336309856917432a^{2} - 182396048169735425876106244176a + 63804484425881835602231676392 )x^{20} + (-582998000972688923739287547328a^{2} + 69085071417835396492674986720a - 17465612460579753774826527264 )x^{19} + (-220850007057299352674717323520a^{2} + 546776575978088494049984912504a + 95190189330705127155267428680 )x^{18} + (-186026159158623673788625703408a^{2} - 553385541846294146954587442624a - 282726021657910743643010086880 )x^{17} + (139840495579328052771046792784a^{2} - 344424985083847509109840878952a - 564103407857654110298262583680 )x^{16} + (-219909620618357000549590240864a^{2} + 215827412295594550314199888448a - 89806696266806163152115091552 )x^{15} + (-83035932052153007439901181712a^{2} + 546398306105686364301210193008a + 567295671125214559591884037728 )x^{14} + (477366521120949686699396532608a^{2} - 472645594969924059909593180672a - 3340601497214603721479192208 )x^{13} + (620718959726050233411727646000a^{2} - 142759884171638828873566217632a + 355823425178983354566455766832 )x^{12} + (-389736270280001524108632150208a^{2} - 488328147638901701623811309056a + 330856776986846759236458016224 )x^{11} + (6129388378838305230178494960a^{2} - 379961674515282989346468323344a + 344280954202611639937094636272 )x^{10} + (205944871524434976973754050640a^{2} + 28580485106600732868399246288a - 43282091899123741786030486784 )x^{9} + (619957580542622064123042053760a^{2} + 99850182989500345445746852736a + 350595782440717267441360110592 )x^{8} + (255175172615187647834950883328a^{2} - 357797830645931138008659475104a - 564896127426994478400506341056 )x^{7} + (23233666075670087152249048080a^{2} - 240294702570131975052399821568a - 69020233550632082653965194336 )x^{6} + (592035354324897741555377492448a^{2} + 632924485978805416320537732352a + 558413482199916803527691693888 )x^{5} + (24727431293008847114356204272a^{2} - 145219440036359327893732626128a - 383388685207346406691781477536 )x^{4} + (598899327470862039380583906880a^{2} - 316906792918255500940771052992a + 63267357293351375185241884864 )x^{3} + (527344163442031770105654037168a^{2} + 306258093646020626340638851568a - 54141042635335687126009410752 )x^{2} + (121992500073909207689702041184a^{2} - 503371413569663533513374198784a + 611113734084712333403754198784 )x - 52873774305877151140361114564a^{2} - 238772518710697943422286122960a + 32664390381587055211590597964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary