← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (-364504468730836770883698094192a^{2} - 300504270002384725059055959576a - 504381329260999576540257838864 )x^{46} + (563643076421624299089798199544a^{2} + 120805289818520058339407679208a - 548528795349756000351033338272 )x^{45} + (388200592377802970846133229408a^{2} - 249333773006820796966356979516a - 241337586546573309635073986468 )x^{44} + (130625525662501333424143641936a^{2} - 386311661455485016148988028448a - 536550576264718160645828398960 )x^{43} + (520355324814582766250180175248a^{2} - 136666480883195837457196426840a - 327769297655122624469835613412 )x^{42} + (-294952943367245823497176655368a^{2} - 471123770171902753901947976208a + 428870196635619271012335664136 )x^{41} + (-578888574766593560834860542644a^{2} + 531364382809804652975073138204a - 401842413659853619411353798332 )x^{40} + (338218885817122201275403032000a^{2} + 306986001350944819633578170992a + 409294659217158328769714088800 )x^{39} + (30422853355803293996921612736a^{2} - 355885780765588179163637842984a - 183743615935239082909104748304 )x^{38} + (557081774057148661556813316824a^{2} - 422286893131089220771534609064a - 219897989545493015765404845040 )x^{37} + (453362960828783055542523864008a^{2} - 454329884828607168956119353896a + 512027049253338592544427373488 )x^{36} + (421735906116790039112987505456a^{2} + 101447492270239405049767299280a - 48129037382702514198661102784 )x^{35} + (302657777017194202317678279816a^{2} - 144179467939209517027373512160a + 610017802494989150690548009440 )x^{34} + (235458001215382105486960175632a^{2} + 603665485106621388231167493176a + 604319521671847509482138824112 )x^{33} + (129332917076356756478491447616a^{2} - 329529521501698823797087330080a - 550455788162068008107504949144 )x^{32} + (-160182883351036998124574537456a^{2} + 132734266135087328111378396848a + 165487083406564078236264799600 )x^{31} + (297746544388883439155115593288a^{2} + 116280549915898874753037254728a + 282429612508448974045554157096 )x^{30} + (-141626803546303639920839579664a^{2} + 535410904332845153153802548128a + 401393146347164527673965450384 )x^{29} + (117917816505490143361701316592a^{2} + 273223900835956367007455953720a + 492110251635183808805998099616 )x^{28} + (-539429359496036182363185616224a^{2} - 152377212047502652439735229280a + 561892403748670300730149793568 )x^{27} + (387690952172867742426173943392a^{2} - 597336540453331313075157574072a + 7933461262849559670000410240 )x^{26} + (603695022429978414339395288384a^{2} + 290017114251222640977219068064a - 471520712520515427011622952768 )x^{25} + (-374002869290639744583200740100a^{2} + 194104993866413526383811929820a + 285875609008006831871124663700 )x^{24} + (-113932980435751126490015506496a^{2} + 114895170634229421301372955360a + 343297822450281961011572348224 )x^{23} + (47101184277297096332040206128a^{2} - 26506833649882796987179059728a + 590395930894911470770158186736 )x^{22} + (314400280829767700886665761776a^{2} - 232121034259622626994483828000a + 524730665908045563890233935056 )x^{21} + (-12035112810813180399871720616a^{2} - 8408126775695015521549804208a + 622220615068075586953144485944 )x^{20} + (631859766880859784733467257024a^{2} + 177806268869658068251934521792a + 290849934429826521386289939360 )x^{19} + (-152053413306125995054109531376a^{2} - 260515172759397074105102243240a - 259684420232698641092548809992 )x^{18} + (-545983323810331672693872978000a^{2} - 262192751647274224373202956640a - 559933473216905740175064278848 )x^{17} + (-362230856081118212342039752480a^{2} - 627040975213494612757556284168a - 196033459741275723276945920528 )x^{16} + (-110784628126505540918357736672a^{2} + 138678981156930757864323909440a - 18242593658099692680217140832 )x^{15} + (-154074746276700998048667011920a^{2} + 500119726188113187923986153936a + 88524767490104052346026038784 )x^{14} + (196802197545563348350062134848a^{2} + 444232678535710409367603384896a - 76063151101126806622550079440 )x^{13} + (-487382848863566370990582071728a^{2} + 630018513877678374525192918304a + 148755236236404517993750828736 )x^{12} + (-90622766382417407424587255936a^{2} + 219698858382313914229554089856a + 325380527546351900065531964064 )x^{11} + (-103149118502453446478494621072a^{2} + 377854328705870907771294658288a + 417533189979914878233733572016 )x^{10} + (-414864366194814816770073794768a^{2} + 72600532777623459994126595056a + 569927815538312404879878046272 )x^{9} + (-101850443206580302700458859200a^{2} - 235551450456577555340212364432a - 380741916854455140799932351408 )x^{8} + (195199159669041549446666181568a^{2} - 189678708508286341755934000544a - 490714104128201601820011897792 )x^{7} + (-366953404144733431720309902512a^{2} + 333368132934755507905830995456a - 291260763798434925666731334432 )x^{6} + (204082623572273528470809493088a^{2} + 79542243990970011821913237056a + 590708473444801357136503175808 )x^{5} + (-273719360214335369630050503024a^{2} + 384873197189955712017421005296a + 285555117079228701066043354560 )x^{4} + (422748536439619987101560304064a^{2} - 447138895206287827887655913728a - 244949905300158828501022140608 )x^{3} + (-299189638816708243406037841840a^{2} - 76044509154543273565381528496a + 602552001505075198004816928032 )x^{2} + (614223817820122111776509692992a^{2} + 337256392598588085218852769664a - 259468343086975386511212666752 )x + 590123006985730414776939974716a^{2} + 492163829172887402882802170656a + 410859052459603947312139000172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary