← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (370410846110224267022153247104a^{2} + 454791503508131697114363039400a - 592542653507544171586337418192 )x^{46} + (297387019088474786267878603288a^{2} - 284306304826459737256934674696a + 394696072794985665962116582416 )x^{45} + (598461176342527232492959631608a^{2} - 276617975459743137826087661940a + 6751494396397891787609995324 )x^{44} + (39351116499428958427565996512a^{2} - 229590711162283609790096594736a - 200832156366947501000623132304 )x^{43} + (-333789600015320674282695945384a^{2} - 504340621386384614311399399640a + 593782137502402778727494058468 )x^{42} + (32021044797937843686728878024a^{2} - 118975920748543460881944109312a - 453555622434729754238394446984 )x^{41} + (-603744375361344941065044690724a^{2} - 348078438993950192854207792580a + 237761489791026023863368457748 )x^{40} + (-141897252409910529185610920416a^{2} - 478613065183262387618054736112a - 616472609432443503874035372672 )x^{39} + (337218956535667224361659355312a^{2} - 159376076829414848341145820824a - 282972232991284871299460144144 )x^{38} + (611139955604850847250403727368a^{2} - 506752248207866135616364715000a - 90738663798719162008346982864 )x^{37} + (29052004549326728458017006904a^{2} - 621625804980242276132156366408a - 397623275529418253653947012736 )x^{36} + (195122511828706153549993206320a^{2} + 385855565890738204627330348624a - 590018493602770569891750601216 )x^{35} + (490452358902569518144919395448a^{2} + 223754870623113209132298513424a - 371827561872646709493874966128 )x^{34} + (247708950259498202708642271632a^{2} + 272446528615976155841835569416a - 294490349925260700067277768032 )x^{33} + (548023330435525886135297528872a^{2} + 93074367449609890316451858072a + 206168200458002871486672519336 )x^{32} + (-188664888986378918957679196208a^{2} + 147836718467529829764968889904a + 66094469473322834187852048560 )x^{31} + (-326051812390324259726439321224a^{2} - 578546170436286489171616585352a + 208020929822345230883378176664 )x^{30} + (-83893377641918147721357969776a^{2} + 396429436503692043267478409760a - 109057437589303585376443323600 )x^{29} + (-15774136350929402270025509984a^{2} + 158401918562346276227006465416a + 100889287644564557243428190496 )x^{28} + (-253978088182540169563337752224a^{2} - 398967286215952319329933897120a + 247315464970222344297873276064 )x^{27} + (-501526005644365294162658425680a^{2} - 484004004494188809621335755112a - 604027840557767849470867161232 )x^{26} + (8585526772728202778025266800a^{2} + 268968587772123134413731648544a - 67334984286134162142696393664 )x^{25} + (-74427990216036269983883596236a^{2} + 270463373415022740058804580028a + 386968284608196882368316261004 )x^{24} + (342779546327713975999958174976a^{2} + 230172755269348158436134589664a - 117686034624814587782700155648 )x^{23} + (446146331150806554260296740656a^{2} - 147996579298655462437235156240a + 576055164733564605455290022704 )x^{22} + (-141730245286390381368933620944a^{2} + 102752471278728325412390882464a + 462675513866388292615753839280 )x^{21} + (-183811784501670706926532246840a^{2} + 261621570976591726027673778800a + 277049410719419010026179029560 )x^{20} + (631850538387630433422092435456a^{2} - 583806191814386804247625761536a - 201187389926276872461966989504 )x^{19} + (478909612658933462347876826992a^{2} + 245864661568135879359019296968a + 382012554473950237922326679832 )x^{18} + (174413499219553459050287426832a^{2} - 12129721863149946535485897600a + 70780207229367165913617164608 )x^{17} + (556890062795830004869016060032a^{2} + 348897708359627478055399809128a - 339363413616246963968866481040 )x^{16} + (-93350993262498327372097054816a^{2} - 121181214323552547419149522368a - 479703137294501721627326072544 )x^{15} + (631927373172733671396336955760a^{2} - 238994664118123610759984795536a - 41815237620113845731538525696 )x^{14} + (171846428197168640955713386048a^{2} - 570657741277616510507454969152a + 455412266436157489493267621616 )x^{13} + (-220083222671071218169483213024a^{2} - 468283225501144184109306994672a + 617404265873774959564510252128 )x^{12} + (-410604352403588307397630731264a^{2} + 206518859378028757770004360320a - 325197431999797448628664315168 )x^{11} + (-468406774141018977253838824912a^{2} + 50949011454350190987380497488a + 331767061180550317184280938608 )x^{10} + (-560351175250826154887954718096a^{2} - 214576238506348645495792861552a + 588740978050513365944922530496 )x^{9} + (-309782769222121361106325173568a^{2} + 147174328682094787591938617456a + 291666993418240508005440238272 )x^{8} + (274297957182512277123157179584a^{2} + 504358536668673127052463479584a + 348072937113099281282119081152 )x^{7} + (-493115840528388631033505743472a^{2} - 628725666178466226698187963104a - 144044095048573673958988671584 )x^{6} + (72248315509000839810327834464a^{2} - 419014931484725824317844658368a + 119164443356907082706994317888 )x^{5} + (-377492178324235109727379686416a^{2} + 349810812596581532900166397744a + 403448860194729229701066036480 )x^{4} + (-514558013133295833062361497216a^{2} - 376785662384843417254148505280a - 161644508146236589419853125632 )x^{3} + (603861417503494714744959733744a^{2} - 600818478798764813410455544240a - 614504231804589516315541476512 )x^{2} + (-460479151804889868758998272288a^{2} + 572617049196178008365291597280a - 441070217337505531270414725408 )x - 519675235637460652699818410772a^{2} + 459055163245730686858733274896a + 435794696621157491358411860268 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary