← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.359750_564332_909610.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((180045889686051740293312278200a^{2} - 8606042604962230478030012948a - 279253854899379229611856902414)\mu_3 - 300337050138367300292971866144a^{2} + 24545157232417869684377857450a - 76721180144847830081033729172)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a + 2))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (\mu_3 + (a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (167136190530959268443693184656a^{2} + 211687258810947095132048224464a + 447309255159205493701782949584 )x^{47} + (-533303927457911044544564915408a^{2} - 345118814049080858890410957096a - 387148007070884202640493114736 )x^{46} + (607965800896925262342594503624a^{2} + 184231970251128546277066826248a + 276324901194554475118910348448 )x^{45} + (344258579664379092005023993552a^{2} - 457984749792077499161967134228a - 444618320948136979840866946060 )x^{44} + (-612950493169052930651385834320a^{2} + 393700356603614446154267721440a - 74419897434521967153419691904 )x^{43} + (258665384326042531366718995384a^{2} - 421183390321835352924370494472a - 259174619064493104469456761308 )x^{42} + (-85170130341330918708753516680a^{2} - 309728967111040499557101875808a + 139781411226269690979119600776 )x^{41} + (466350620902234874493036042340a^{2} - 28940817199903192050930506204a + 109774562052700433383202693092 )x^{40} + (320076616150666851693016665952a^{2} + 186771996100199590471512764752a - 51141421364102814186602544128 )x^{39} + (-43271451986351158262926451520a^{2} - 188259978179380211028540986648a + 349068481613241533781398199600 )x^{38} + (-152402645544433015010618009992a^{2} + 615237185769913899707209492760a - 530278331521082711900000420640 )x^{37} + (56230914678212172609622864680a^{2} + 141989504486236138675217822976a - 140341810611400745310904305840 )x^{36} + (211853231870406356304602193744a^{2} + 543508234106417360951567638352a - 255890608056253835061738839424 )x^{35} + (-295046917460143605637130686808a^{2} - 484709790719756302781838813408a + 612181997479951068124024901104 )x^{34} + (90498029148552205886511051648a^{2} - 496100884298579511116537882840a + 235385026123149482330137508512 )x^{33} + (-511228446250344806464454334952a^{2} + 164045737961629796944811383320a - 394325351688775042074872456048 )x^{32} + (-319578522271038333065575295024a^{2} + 522109684052252542122502373616a - 45341989433461651368028315664 )x^{31} + (259771056184563265052609162776a^{2} - 509760022813271625685850726920a - 347447734899600324882006638360 )x^{30} + (526526951430673314367668371536a^{2} + 375131441882740024032312867520a - 38378521688593055248313940816 )x^{29} + (411098770953348556420871072432a^{2} + 230311638002554013584177118312a - 325636727826441966880663162416 )x^{28} + (210036960811906063924990079616a^{2} + 298523267192306698085355628960a - 430543613071816482317896405408 )x^{27} + (-563786720692639183469556903952a^{2} + 611802438462085401170380696344a + 504099786965902270284200596144 )x^{26} + (63941758022420502141299915424a^{2} - 394917608201492055831892354848a - 129181565354116900587538899792 )x^{25} + (-342652844106929036901377870188a^{2} - 71337868901723269194680363900a - 147308453362798550694303342540 )x^{24} + (-492468624095479994239393324864a^{2} - 185682968066051693510004781792a + 2551240399170322478566817408 )x^{23} + (-2860716329354047699135954384a^{2} - 326883556018145803317722337680a + 367113007904210268736360573936 )x^{22} + (-187754637974351523350917490960a^{2} + 201035535694417687379746968640a + 587711725646142158908400653136 )x^{21} + (-295776734214044791081724200264a^{2} + 458533988154823792916836498832a - 189372564663599031720492053848 )x^{20} + (-472713112211011568905630513664a^{2} - 373543026558227377085099942048a + 28326113394047157844091400576 )x^{19} + (610633758840971191755618499424a^{2} - 16663344292544605434059453432a + 35174143109427963717864033320 )x^{18} + (345775204542089369311238189232a^{2} + 463877118378071040261631208928a - 620798187197942953317917246432 )x^{17} + (391577451793231380864214644528a^{2} - 191833497737724398249401227064a - 172401987472263740975598416384 )x^{16} + (8083683437928124861705748768a^{2} + 590921676058872928320480489536a + 531132145201227913655950791200 )x^{15} + (418348748503327174845324776688a^{2} - 15176028863150101407355572848a - 247560215120807200423350587872 )x^{14} + (385640926333029167480983198848a^{2} - 269727061582368037317839547136a - 182535253185450927892907580880 )x^{13} + (-232028222783913067990201015296a^{2} + 409764557236553181571376680112a - 184381002622351709195761982256 )x^{12} + (499687851553338373135616790720a^{2} - 511667053866694778298037311104a + 196906145938983486403748563104 )x^{11} + (412655855370074362437904396016a^{2} + 129702537962101610205906657616a + 597672547940517159658280835120 )x^{10} + (-192781705061561785965171020400a^{2} - 109227100395490632995612009616a + 572977926009968653793294013568 )x^{9} + (286953308004213944807965267200a^{2} - 351301415672632919434581166688a - 610673963427521760046848760944 )x^{8} + (320361474515379856280552830080a^{2} + 100307628122624646725250131104a - 107511008017814562713713327936 )x^{7} + (69593524814744050738690523472a^{2} + 552770528473469524166173476000a - 142257396627274709709520662688 )x^{6} + (332668254728600518055341633888a^{2} + 408542736161316579632116306048a + 437226199263605314139532379264 )x^{5} + (576223608148704148002850123856a^{2} + 292348427941844349767406019888a + 189464724935254317559465700000 )x^{4} + (83087554661709966165321642880a^{2} - 287104320394162883355410501760a + 514039729577930700690188658944 )x^{3} + (-41821132563505254154613746160a^{2} - 433411329049518618941641238416a + 104056367485133579562130698176 )x^{2} + (-401937952725284552749041010560a^{2} - 575801765329286038608438481824a - 418504133814051465636857858720 )x - 239532640724859795557278129876a^{2} + 49535943139469689456666815104a + 79538841276690009111076650604 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary