← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (-110195297010152153880819597268a^{2} - 540645180910578763880002549792a - 403435648323063495960888396800 )x^{46} + (-322577938298990664434554254496a^{2} + 379329989183101234418601511640a - 17154671495705530023181597392 )x^{45} + (-438499086497214771269315449828a^{2} - 581950921498459559120475155136a - 183538456166746669810052965776 )x^{44} + (265782029095380232092073789136a^{2} - 211836719115182818967519039744a - 134819731369025896847307131760 )x^{43} + (152341526435475511776735255372a^{2} - 39909958649152228864248797224a - 66094521214028674496715080232 )x^{42} + (-398089556092461777211349998016a^{2} + 191638151109533754789647156280a + 129508929793805139357071747848 )x^{41} + (-155803369063170734851891434124a^{2} - 430391574910804332519645678256a + 340153093898374486004887367108 )x^{40} + (436276231723522709446872679584a^{2} - 503669569261394653072411135184a + 330713829091582028576460333200 )x^{39} + (388021060947571159099221366816a^{2} - 179692372478675635997387072208a + 472627071429749433997823076152 )x^{38} + (-91025087900677952594842216216a^{2} + 381023409424506020295386035560a - 156988439305174423002372112952 )x^{37} + (-160142436666103403521486902416a^{2} + 500599225243662154494536825788a - 315694315251899381924195646496 )x^{36} + (-207894339015869225079413217104a^{2} + 460999917656178619459516036256a + 448115110375892381841584794960 )x^{35} + (131698315649336618508452272488a^{2} + 237523696889202155235716799356a + 340749389395115263196936874012 )x^{34} + (292323001310993219845211424752a^{2} - 621888788539928481551011988336a + 51697925631909622125631286000 )x^{33} + (574930814262774073196630472182a^{2} + 534051321900087627950593883422a + 476642223570337092902532979892 )x^{32} + (317515817750982074918277282352a^{2} - 224045972877933350228077231216a + 105374093556153129330119530752 )x^{31} + (536436039212656323842859921920a^{2} - 388466572011839161540370801080a - 437579638278824193702991986136 )x^{30} + (-155692858438340208784243318456a^{2} - 89603830039029891768395419168a - 42099566068330064150997572112 )x^{29} + (448428880417487722194603085676a^{2} - 48570680793160174879698758528a - 402848728175957655268631180848 )x^{28} + (-374345878819001473025437409664a^{2} - 613019048230055245113565002208a - 483659978101684119458541205984 )x^{27} + (56795270294120818822359272240a^{2} + 164503786892555545706225533184a - 584643285585108131420992123976 )x^{26} + (-351164128298547984917367156592a^{2} + 630098621882345907763714251856a + 595067968258575005504197717408 )x^{25} + (-176037031314485080460422098476a^{2} + 41838756903603792274589835624a - 466887412147097558666679414356 )x^{24} + (-319103446692322538383651638368a^{2} - 489204782731083180207895189488a + 620488798630478734585150696032 )x^{23} + (-534720863026104413704375177464a^{2} - 104226550016820048271474308256a + 377073187654974562390201121808 )x^{22} + (-115758474728842448635108889296a^{2} - 169411466270403149656031992464a + 57337829508559908496117462720 )x^{21} + (302987473361713140475419770936a^{2} - 474162835647727956722734729504a + 489546196965341682013089533192 )x^{20} + (517195263128176768743020392992a^{2} + 398528591170943283938525244384a - 170146180853883385118030395136 )x^{19} + (151243051653967717641290256560a^{2} - 14508496443053137818177841568a - 505202851898647962585737293112 )x^{18} + (215650362634262101399433059568a^{2} - 196148857687680943527472668480a - 622307294297470209352837551872 )x^{17} + (536070769568587440368807491612a^{2} + 604480069539222107005273011544a + 591624391998203601692102595076 )x^{16} + (-60738322781291472459758126880a^{2} - 76920094331052422762779776064a - 120711232136499327122576365056 )x^{15} + (-626367740088719969009738724040a^{2} + 542616322812501944160984093800a - 528454619365483354303036920120 )x^{14} + (312632932642235817152950191184a^{2} - 278619708880912216880708857440a + 132962328585378133572782441488 )x^{13} + (600481794521703566387071142568a^{2} + 426978014067943336149556450944a + 6458866709232930204966610904 )x^{12} + (-290997191688955939832297493600a^{2} - 617269929380424891819796616192a + 70335057383441337328620107648 )x^{11} + (138454070228689706548817987856a^{2} - 49438544392039963759473722344a - 338429678718905032220909721880 )x^{10} + (-388802704333367989974253947200a^{2} - 607519772854203482416004466784a + 233679941691967887161500479584 )x^{9} + (225460515679034474554998949036a^{2} + 263313575315843537276311142180a + 591301105931050878333958251216 )x^{8} + (382945524530441178146791811936a^{2} + 435814272836690428024947103232a + 107737105137210457394160286560 )x^{7} + (341976535419758287476926579376a^{2} + 348850507048876202888882483056a - 262596247710241090950640167328 )x^{6} + (-142085612090499458558910548256a^{2} - 116992408041528915005781999328a - 314224024730852149418670327616 )x^{5} + (214602976115533110616891406568a^{2} - 60775878050251733230820478320a - 360638065402774017569473612976 )x^{4} + (419060455612573346202460269440a^{2} + 399251490258938822445117064960a - 344235432648065971707749748608 )x^{3} + (496397019057995054881017415728a^{2} - 129900892400094419139918507344a + 462674825819170680640805151728 )x^{2} + (433470799556213679140068695936a^{2} - 134315584538296036875395694944a + 344391747533595895784510354464 )x - 103850486382887622683410099272a^{2} - 521284773912606026438899266288a - 225475843906937014068636796892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary