← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (-395790749924274578463086982408a^{2} - 241751960390953162229255318600a - 254477521243665292062116528184 )x^{46} + (-192839730149792648719947353456a^{2} - 282055431558283249785990974328a - 396880916618359095306800138440 )x^{45} + (-492113824893803436633209519664a^{2} + 367827924722255006511253233736a - 137348724759445280283515909880 )x^{44} + (475651433172041602674592286720a^{2} + 3921479854768563446960646992a + 361956600196848694916185332456 )x^{43} + (-501868780047343700266447226944a^{2} + 441663626123183514939907082472a - 298939664546874372487671164888 )x^{42} + (-443493899032655841514535679376a^{2} - 267842301601155132293710885848a - 290229145714915567379179871160 )x^{41} + (327794964975572065294919089112a^{2} - 307980653174195008334285077376a + 333009793184018384586395817536 )x^{40} + (446944411353628211817993377152a^{2} + 562957830688758069599875226608a - 144820189274188471233304573424 )x^{39} + (200589069789702986032202693984a^{2} + 613004575261459982527766522552a + 260938643216703633519021207084 )x^{38} + (-35592783112983965982657886024a^{2} + 609690381166932923529885665400a + 290604070151858297575875654688 )x^{37} + (370096793745295885014330874780a^{2} + 116773103160801962985254710560a - 410396217782042913831871854096 )x^{36} + (626735741091389212545303357824a^{2} - 573757467465731020441070213520a + 31637290189780918699642433168 )x^{35} + (-590858793767991289592531809816a^{2} - 116326186795842087591157369324a - 580169848282615954039369293876 )x^{34} + (-6812670906561753678351420224a^{2} + 56030112347316809415084814640a + 188393184989664411424936788928 )x^{33} + (220408704062403945540557252448a^{2} + 175748451943009494571498724466a - 73483298740784809707365218122 )x^{32} + (56065631198847798576385169440a^{2} - 571656542969083281474535601472a - 324397421519893417685843001536 )x^{31} + (-71658974168538177331648712552a^{2} - 318830928676838303160731418112a - 318554389134927512578680336752 )x^{30} + (-377631455927328157295997219408a^{2} - 273707073788283749713448549720a + 472645876570761083343336651064 )x^{29} + (-420839702670029561398765043380a^{2} - 31539104325153664339199520736a - 311283945218308813071823255900 )x^{28} + (-281808466728390433297841907024a^{2} + 367652671053295251125914380480a + 380728891050774832843771151200 )x^{27} + (601087509831086240250572425096a^{2} - 240488288534045764163861565880a + 107839157750169178320515733080 )x^{26} + (448921262055828877183130269128a^{2} + 269096383864741502317771364576a - 587613315783166657953214231032 )x^{25} + (-471495079295173775627838796960a^{2} - 481706033262898268569110513068a + 300165444133182047491693866552 )x^{24} + (19062256123488758764237164480a^{2} + 52652919231385744038010613760a + 302617017216474262312258864480 )x^{23} + (-396190032289935941468653391120a^{2} - 21769677580714835720787654608a - 569453947743619977900034676496 )x^{22} + (-129375759436836343718327699120a^{2} - 170545078738871158806509319984a + 509691802534916136570229821472 )x^{21} + (-434732097998647974297677653328a^{2} - 306821027583253832564178231152a - 350960019651471228987812434792 )x^{20} + (325098278240202439680943244336a^{2} - 312646294291549364171000046848a - 189781600816400211578507803232 )x^{19} + (5312317495085556092781350408a^{2} + 613268294477569882858115076360a + 425383756443673347255938911304 )x^{18} + (272704825851557846760777029552a^{2} + 116559815340329500274139859312a - 502687237230009404584333609728 )x^{17} + (-101616672232708931399002971060a^{2} + 617967421637053476386620030228a + 425855828022404603113576276256 )x^{16} + (571883462813262956803247298336a^{2} - 133051201616804187968467801248a + 385829504640845210929063170400 )x^{15} + (351521558368050345009709578144a^{2} - 620269007065536020518442746960a + 539139970733588264828179995760 )x^{14} + (216082107983349571465340489776a^{2} + 50233483820893072240179687808a - 314690341360574612557570626736 )x^{13} + (200767024009121495434848960040a^{2} + 389009921617299466875866821696a + 160015754849791146073929217280 )x^{12} + (-560275939218783930488784408544a^{2} + 115317807500699591978390445600a + 437257479368745616236343175616 )x^{11} + (-354817738611142090720052534792a^{2} - 193820133102224710710877725864a + 68051238126277920557873283416 )x^{10} + (-618710017776799499393855450272a^{2} - 327137794074977162836702499408a - 174024692498008208759989326912 )x^{9} + (158701198910169072898623212540a^{2} + 30018035397201956566729571012a + 328900463323011365187397194780 )x^{8} + (9822117654987551459741597248a^{2} - 544285774967017629238657601792a - 142884989319007550849385841088 )x^{7} + (-615538530484157531489528624624a^{2} + 123053596430596057465966369264a + 264770851501047596606659164064 )x^{6} + (-217913538969463281333690073632a^{2} + 162509505227096200275159224224a + 602230999724407002560810658784 )x^{5} + (-423792019747783826474179461536a^{2} - 364456017207699437093796232120a - 368899921613128267414936318976 )x^{4} + (599367404524216720187378349120a^{2} - 538010667242307236072829565696a - 60104190833030122188241746688 )x^{3} + (-270055188706816449555969289008a^{2} + 183830896594878148664621429760a - 53016619419662686250351484192 )x^{2} + (-609359033518577038987936342976a^{2} + 392366650512218967240669294064a - 325813009972801996830498916544 )x + 515381293583184851319700021684a^{2} + 20798468150362754818395727324a - 613395583609955515280235483672 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary