← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (340969193011259146425566182968a^{2} + 141227157136968381876974789336a - 528657928404926992342250098064 )x^{46} + (-244668895200542537399831962096a^{2} + 590487882617772622907102584008a + 577632140437921409332426959720 )x^{45} + (174249168081008674628984799504a^{2} - 296174076650275870983616355552a - 344582261796631724933637304128 )x^{44} + (465642540117187428610731900160a^{2} - 48534095963853935630698804496a - 470889397848483172783143286888 )x^{43} + (7685014222861729116102558848a^{2} + 183926393356406473668138206720a + 165396266160162702076096840712 )x^{42} + (565044023806677886987095205320a^{2} + 571367997769098694754239727464a - 2016221238693776130259207352 )x^{41} + (-556399501790467349928165699560a^{2} - 100761867738534405173808759316a + 461986326532220657687066281856 )x^{40} + (-81510573495355047561475685760a^{2} - 359814629076408264101329534896a + 549000216246272940695198659472 )x^{39} + (-184669756377797713959015654816a^{2} - 390546315521450511810084371304a - 413108672525713575329451596948 )x^{38} + (-181305089275435976133994405304a^{2} + 227537331027988390547158706072a + 381616266129006691616240901856 )x^{37} + (516718669938648443765311849620a^{2} + 413345253365247008293253726736a + 486895449129716562285844177240 )x^{36} + (128913982746123625117110191296a^{2} + 367950617430812841561275708432a - 439038643215822916422333414704 )x^{35} + (532336219639480867304103226968a^{2} - 52801280577429080984411804292a - 418966955201499257562294272796 )x^{34} + (215750735077657399745387841824a^{2} + 242796757213763710711207711168a - 146183276504155106637866772800 )x^{33} + (608414525896503668661742416672a^{2} + 264722339844680063179337558102a + 374273069938664497313002805642 )x^{32} + (528099419525913325826040413632a^{2} + 94012977050419822996143620608a - 164749840497866812088530159584 )x^{31} + (262725537069539950168257680680a^{2} + 534451743419967354402454509728a + 119864328413404246335412396752 )x^{30} + (553440638345274201966452373520a^{2} + 129591406088051068987185282664a - 464730925572722633287413956776 )x^{29} + (18521272535819541099921324820a^{2} + 87528421743508965777127795608a - 459714076657803562753530424212 )x^{28} + (-437336786158898325275197863376a^{2} - 494025373445463845365894198496a + 451581143295924259295247443392 )x^{27} + (545485913250938618801216460120a^{2} - 533221097967475843520557478248a + 178432068331328579317959348856 )x^{26} + (-425474350388643566421022867192a^{2} + 469821901867239987185843397056a + 548641301828083206860959420744 )x^{25} + (-440243055487798410521610584048a^{2} + 185932031778086793580672131660a - 85559492466265510776158354936 )x^{24} + (-631166525068070664295510836256a^{2} + 169959525185669781988703121472a - 243298442998931089433900481792 )x^{23} + (140552802370419821266376807856a^{2} - 49905963608893211944807198720a + 283426674570125575528479732752 )x^{22} + (-508358917840848882054554908816a^{2} - 369974895768663302057462851696a - 589423389432585553127785585248 )x^{21} + (186808419469721236882429972464a^{2} + 597061658788458299945908550928a + 577497903822083130745138218464 )x^{20} + (-399967787825864592898724430544a^{2} + 468169921355501146035267628416a + 149805985659706861335061585504 )x^{19} + (144354243897695264444991420488a^{2} + 59665931009875709058078007544a + 122915745054643660436561617464 )x^{18} + (242967780111679151155883497584a^{2} + 257875733175636732997605882608a - 366422704958409429160243440544 )x^{17} + (-364483054073133667291411216308a^{2} - 533351389011734371349869057764a + 9417944343498442410338558328 )x^{16} + (267268962621852585851718081440a^{2} - 447562736938629123890961791264a + 615326928657522291999825825568 )x^{15} + (132927320410289405282663066528a^{2} + 6782708128942931550109502640a + 99282571666281122902741451536 )x^{14} + (290012276396308303661945132016a^{2} + 476426436135355437735634644768a + 292231403608098317679990419088 )x^{13} + (622462514210218695848415084376a^{2} - 516082127774896797364993250560a - 376615393982678364351935758624 )x^{12} + (-488578955945967558543203521312a^{2} - 196415715865901109500085100672a + 521206828172246438001789737632 )x^{11} + (-152952322653631964529420216520a^{2} + 383716291546270387655222932856a + 392435812640800569843958264568 )x^{10} + (-74316867022464562469810006464a^{2} - 188201007533014563353917598128a + 230305973769636089706602483264 )x^{9} + (54179539333248646040355201740a^{2} - 397810409336920637665982076780a + 366894554088096210409095600252 )x^{8} + (-550610795209094554319329980480a^{2} - 517210243776973792937975394048a + 240945025679463833345016901888 )x^{7} + (233671407224420408847937305136a^{2} - 571409706700461222061737702224a - 5127907894420429503108587968 )x^{6} + (-552438281238346023456027258304a^{2} - 589228414062639900330345629312a + 566377293145375956445368469952 )x^{5} + (518791656902445056445008367328a^{2} + 196058890228447680229275914616a - 349714382265422046409223650544 )x^{4} + (-519492726273793561413262471936a^{2} - 404713439285380273480250098368a - 533549161739339020355859752448 )x^{3} + (-618720538651359591643266133552a^{2} - 429280733517546451217907291504a + 200363700430131063560405181424 )x^{2} + (-470674191109154922871097806528a^{2} + 456781030539371218254012136656a - 125415753201477085539695027392 )x - 235916613073733497401673919772a^{2} + 145621947601942897452505347660a + 125314359619737501660322014648 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary