← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (-73436967137316610464396906900a^{2} + 399220491919583945919619772920a + 217099863399559277160641671456 )x^{46} + (55490680008218962951228300304a^{2} + 114793505096893411695933844392a - 249033073010835549814688666752 )x^{45} + (89439527178620236133662615692a^{2} - 320500552687384834744199529272a - 628895425025990440961197400664 )x^{44} + (528364956242284062607252375472a^{2} - 430538461069241741079095482528a + 512029821693883701765217890688 )x^{43} + (-51383425639724154368856097036a^{2} + 464187904175588341040767275184a + 299469152479087547436809743176 )x^{42} + (8740551024926973376268729704a^{2} + 221692206685111052565559993368a + 571812338951309633339594008872 )x^{41} + (368387942575373982988382378752a^{2} - 71070458756798217797720897308a + 537372367997357957136916165936 )x^{40} + (466950803099728060130463563200a^{2} - 322583522105784464000620250224a + 509726225290381223726150683056 )x^{39} + (495191133613259099265410805608a^{2} - 615470348808212434465555208920a + 218225886326620029811891679872 )x^{38} + (393335147943020346513210519976a^{2} + 429751361359306891130695128632a + 388928431371721667070102117544 )x^{37} + (-1040096722253363877772246608a^{2} - 487834356913988005937682133076a + 513518349775037249703337431104 )x^{36} + (216967702943644363273431694688a^{2} - 466240835272329018501394392976a + 78871046124137247449730489488 )x^{35} + (410550810927781599281496138256a^{2} + 288199139203365260386539453348a + 585162988857949495948765408596 )x^{34} + (-343689471103561980381628503920a^{2} - 74101145382224096007888953536a + 46675088539426462461155919728 )x^{33} + (415403480108420228607591986026a^{2} + 186414425460996068063882759018a - 324290408091055816201191187356 )x^{32} + (-446690901634673584184944829136a^{2} + 516414145970382556739180155024a + 451697335487395683193781618624 )x^{31} + (-210057316316370488294179138624a^{2} + 276315370603921598228041383272a - 418542476304693885108415033752 )x^{30} + (-480727667017940055582022597432a^{2} + 362483637501889171637989622560a - 292196059684694256959354680528 )x^{29} + (-23043372552983407040877124684a^{2} + 63333306746741002376996225760a - 102956878159228822010706781984 )x^{28} + (265868247346798530451403104576a^{2} - 261346473434461782570316536128a + 222187467064212359074635538848 )x^{27} + (-83923784849475204929271493032a^{2} - 493178608423429829926340215496a - 170901285210797070845580275328 )x^{26} + (92747211097578945964192472768a^{2} + 609379791031979342443196447824a + 340395188698718610593860656336 )x^{25} + (172372410251073064971685401740a^{2} - 449244683415454961412141381704a + 427343304886191996560759159860 )x^{24} + (-61959119216500462941493353248a^{2} - 336639959017628385598617773872a - 107104331813080773516118014880 )x^{23} + (-6126718370253211981246358088a^{2} - 467127105567973983458220685088a + 212447129751539994355849808416 )x^{22} + (544569112989845014515680077424a^{2} + 150237710612693318697697707696a - 379795041135103340342567293088 )x^{21} + (-445232966006298984090656859640a^{2} + 625421729241992377386874604832a + 132774398347121760356978424512 )x^{20} + (296571304839368882009711454752a^{2} + 388732908564251057041806229920a - 357258690792456814830580270080 )x^{19} + (352098463992487707788756720384a^{2} + 188656937683992954654724741488a - 271351888889407805815602565608 )x^{18} + (540917182855196095278713822096a^{2} - 461407439654592380878496970624a - 556807591529356430857926794336 )x^{17} + (579881336431894693870474316388a^{2} - 487534102341380021815773580880a + 273898316378381888738626351308 )x^{16} + (128686922750279116385758054176a^{2} - 567192991712652619876352059776a - 566047831757606870114503734272 )x^{15} + (167438592149479183804392613816a^{2} - 64613600545682271515170837272a + 104382281422938711236618795048 )x^{14} + (238900802791954768865620868976a^{2} + 630110806659135473917220479136a - 411991767849674733247031497488 )x^{13} + (-88650748083820394375138476936a^{2} - 480136777199735021418931850960a + 458771891718607471313331427528 )x^{12} + (-453688021306492287302562170208a^{2} - 391534339599916913192241334912a - 203772509251989826497514360128 )x^{11} + (-448589032804668421893266630336a^{2} + 291329988398368946408720841400a + 267118900724722632068757934408 )x^{10} + (-66456020119610055846231781984a^{2} + 505530063433816292618507076288a + 140971206398797751642397466208 )x^{9} + (262415789237426121780901881660a^{2} - 301653436624315642057649748588a + 624016041366268592231441261520 )x^{8} + (-455926581662328891808695025248a^{2} - 7780841214720477641332506944a - 380379993109944019878072217504 )x^{7} + (287746696421411998920763279344a^{2} + 374059464555683428788950511344a + 161662680279996329862321280736 )x^{6} + (277264999817920270792631849024a^{2} + 571185524200086645588321234848a + 554176185732996562392394367744 )x^{5} + (-36582954465628170245223274136a^{2} + 368382102362169576420711238832a + 52052651330773110559950744624 )x^{4} + (-12693450975001944389773534336a^{2} + 498592042397628752371195862784a + 478496331948166256679192519296 )x^{3} + (292434711275397409912829876976a^{2} - 489491948234394320396110526992a - 67619017961791167716500231280 )x^{2} + (103771926037460611974789731744a^{2} + 296706002055049674119815062080a - 59687700017744845517662117376 )x - 22405616781325775859126975688a^{2} + 149758037928862216581728259168a - 319765040371198914725745918044 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary