← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (-202800712191495095027677392264a^{2} - 210465254972497896008155900288a - 257544313216248656902491212936 )x^{46} + (341071209949731780226813961744a^{2} - 530700417117750239992833566344a + 631678921820448201938085869272 )x^{45} + (512983846735672142659418170960a^{2} + 103342745312219449165257703192a + 285211328607975188973119918600 )x^{44} + (148586984250134742584689930048a^{2} + 521973577413400916218883276896a + 354207916844633545181898247528 )x^{43} + (-136178590502247071497789003792a^{2} - 179312243936589234929199870016a - 138640100358540404267863842864 )x^{42} + (-242335014427879434712691733672a^{2} + 133837659347866014589054645616a - 207131198325295444641111413128 )x^{41} + (-94915305968367347663055496712a^{2} - 540939648663682354755408876536a + 235141918753171226597738975560 )x^{40} + (64512783459494302364065188384a^{2} + 173819287193248235483958297264a + 571300707069360060078695045552 )x^{39} + (401396759587272816159362362704a^{2} - 305610412658229078791707047656a - 175947222941621903619487437396 )x^{38} + (584468866455051853051096510760a^{2} - 309697037495742212316446541016a + 622491291703251677472885305808 )x^{37} + (-28955829137540419102003623308a^{2} - 346750863721441342527819653464a - 460921732638462028426789940672 )x^{36} + (367657326200779117088681623168a^{2} + 410284319744059685311057821776a - 220021681067759682351687826928 )x^{35} + (17517862505456676571275648712a^{2} + 458732848820882082272779266372a + 404427147627332929548689098660 )x^{34} + (542573511840003729107959228544a^{2} - 133982010100869811049705480496a - 185587663859638669551930774432 )x^{33} + (-631358448047000348052595909248a^{2} + 629522517431535859630760561850a - 61711419308523886230718002798 )x^{32} + (-49639416878702672369898210592a^{2} - 267457502393390379974909258688a - 253055424971401059591701093120 )x^{31} + (-87753445636494635977143099416a^{2} + 558093503546325820152114687696a + 555563677390055806247826180800 )x^{30} + (528633072701869831752081797072a^{2} - 116623161808122097023526807960a - 292109765510337582595178726088 )x^{29} + (4886658585663001474296600364a^{2} + 317572958635521079793999526928a - 265170807725264173082605169460 )x^{28} + (-103416356235223600396977141168a^{2} + 90954751049826665356627837728a + 244155620231210220094471500992 )x^{27} + (312342504008020910659875675944a^{2} + 538154758843853490021901501400a - 451277772083983592491977537192 )x^{26} + (568618197604597123500192602664a^{2} + 116360713904707750085504143488a + 178893666176562611334798775304 )x^{25} + (-341535959412215388342140228312a^{2} + 40175708086653762599651710356a - 520927276187669361135920910720 )x^{24} + (140448640464634392615992599680a^{2} + 599472720555897201985018310240a - 472660804940682941306209243520 )x^{23} + (551480223529095267704897786304a^{2} - 500771819215368525697534995296a - 340237269672506513976216666928 )x^{22} + (391157174122941327351688245168a^{2} + 409145969458748555717562331984a + 237354783242540340100071265216 )x^{21} + (-117854573127597062836064069680a^{2} + 438688730969800217280259249664a - 79840713281394265015391459704 )x^{20} + (-445285812729690637373660324400a^{2} - 546470024861944676492872437920a - 259043685879165024565573356448 )x^{19} + (10108183692851297707953579128a^{2} - 506366204126618727403089443624a + 521206877490017782932937453848 )x^{18} + (574216539617421244333797741360a^{2} - 203131695124138390753678336464a - 55024280019468546736153565024 )x^{17} + (457295164749830804912991159420a^{2} + 401130193189949376188316349444a + 292285432756741165578363946736 )x^{16} + (505500170155062118063379272224a^{2} - 307618353140916360593679774048a - 519225350160835810475472660960 )x^{15} + (-440410882813553992441456515712a^{2} - 446685120561426275754966813712a + 314476268704735997943517592944 )x^{14} + (556079869140243724237630763600a^{2} + 119423436371809852276238151456a - 56684682320932095746281359984 )x^{13} + (388312624436073763601225556392a^{2} + 597946837890418047687364802480a - 516907227289581786541195760336 )x^{12} + (-446474127764294240881819790624a^{2} - 418213922787424054923587510752a - 296424224076957605355038636480 )x^{11} + (-25438443385458353006353976776a^{2} - 179592073179479154030896539592a - 138144449290043526586619777160 )x^{10} + (-133662597750713473743570922112a^{2} - 162605289907725138262729583728a + 113723113758568644601960938432 )x^{9} + (77778278056214852269209463676a^{2} + 509914178705433194295048267364a - 182659347901367631313634429076 )x^{8} + (-120534398210382653868530791040a^{2} - 62347058083399482541619572096a - 461409066146643198729408040960 )x^{7} + (-452706597565314151168777648624a^{2} - 123270051053770491905429483568a + 324052572980790432112470178208 )x^{6} + (465169531469159367614891907456a^{2} + 457606120530007057121006353312a + 252128352736409263977119703072 )x^{5} + (51390225626855225966187442592a^{2} - 334548701892712512179776865160a - 494442124816083922715177639952 )x^{4} + (301755923944985136123297010432a^{2} - 481182936620883881414514023744a - 89711340229676228056738125056 )x^{3} + (471854913981648081068351731744a^{2} - 594920150320144387907767934896a - 478755148589116086529648698864 )x^{2} + (-318352736066713351671365506976a^{2} - 3619948955635929583389803248a - 243267838555469833561667631072 )x + 178819042821333099936740926436a^{2} + 228401618735328678784421854156a + 538450969532041241976058032712 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary