← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (-544456755819963558693101074540a^{2} - 334607757529449592891501117856a + 99616660708313655424531965792 )x^{46} + (-346805057240172875896869932144a^{2} + 403317603467824884187257814456a - 464023249562563318909377417184 )x^{45} + (-547005118521539945558844239116a^{2} + 134138190792777150472094439760a + 252857240957436960490073810560 )x^{44} + (-25269666433907712175139967280a^{2} + 15799462072318792177356843136a - 383093339752581743637037747664 )x^{43} + (-450754009220416114994498424188a^{2} - 510291697212724717985326865544a + 545956674828306497293191158000 )x^{42} + (-443624785274106674108169752920a^{2} + 163808378502431502643711845728a - 145936898410385670544492207880 )x^{41} + (-171881901401475668214040091956a^{2} - 301363225492089903528170710312a + 578116241857986723946820374132 )x^{40} + (-626925284904568609947332178848a^{2} - 113264655481945650285757738736a + 66155800046298706724157766320 )x^{39} + (-589640794956548532001643665560a^{2} + 609988190788196310745012926368a + 50716979996376790314038984200 )x^{38} + (366924929775208150750089032664a^{2} + 239870808769312661028402794088a + 467614656227940040190686438376 )x^{37} + (342795019016037167821635977088a^{2} + 438414721169622159008787623556a + 512567181661786509969027151432 )x^{36} + (162864847832407054943555087248a^{2} - 605083052621573308644879763712a - 362151941439614649941133281424 )x^{35} + (100432616727842235236003556768a^{2} - 366926303384039141318669946332a + 622458616454925313825287652740 )x^{34} + (-563391686559172246499650541840a^{2} - 91735049792964886501062121216a - 550902344140407190850874288768 )x^{33} + (-206846579655677910900801136282a^{2} + 106219758454934736665367798490a + 430012143798816757890727325116 )x^{32} + (-359376736146149398176257604368a^{2} + 105991911713024930986088835280a - 11819689288116549922180370304 )x^{31} + (143256522400820971581023550400a^{2} - 3158056914744483024387239240a - 314199811686420249301966669784 )x^{30} + (-331007414922896690325298177688a^{2} + 161296256905071044401413200192a + 445072663362043735717861034928 )x^{29} + (356427164793819136407057340252a^{2} - 494352526550679089390109994920a + 602606701751874076739139261080 )x^{28} + (-152933283242011625586897922944a^{2} + 582253332302544480199332865824a + 258456803463673678769105082432 )x^{27} + (216409170733104823326658896832a^{2} - 325792144848459288661990771600a - 439341249694913053529804191632 )x^{26} + (581475473212605825570685650672a^{2} + 163082936059441984521227020448a + 391232049016703027605621584960 )x^{25} + (522075117685601847291007977724a^{2} + 114861600447098686541929608432a - 412306609215348769979530691652 )x^{24} + (-241165495387525241511454975328a^{2} - 73363365281216554284096943408a - 405231035736882308256886349728 )x^{23} + (617054843062529443745982629368a^{2} + 296098474194275779574236523984a - 184873347995535938559775943952 )x^{22} + (322941498001544977473345619824a^{2} + 566292280299626300235913609936a + 56004297593750786858227014400 )x^{21} + (-469800502016961887270997311912a^{2} + 550542639360051689477635514544a - 266195709024436061601804472 )x^{20} + (-369926525445805807394472623840a^{2} + 157224197629679780576073262720a + 277752323828677571989881211040 )x^{19} + (-446831877192217847180189456016a^{2} + 599573216083763173495782058928a + 337064423601458075039114606120 )x^{18} + (444378489621921075075286456240a^{2} - 493860789525708262015431272800a - 496549024555558122531096286240 )x^{17} + (-16765892838024754986072408772a^{2} - 301117582269403466782267874776a - 9025591611294664417987863260 )x^{16} + (-16690060533392260445541570016a^{2} + 609808475354956195792386249152a - 204675032342680818164091571712 )x^{15} + (496600056032762483248610143704a^{2} + 356244487064319228888747739720a - 593075668532471403250001582104 )x^{14} + (160440613262187307988079444496a^{2} + 136204122588440851462425008640a + 566894305925145317966351191984 )x^{13} + (246213878158374344840335703592a^{2} - 539209693986386279124612948416a + 380675143874001096150212876904 )x^{12} + (229662350641146715164219150112a^{2} - 298751469312923201423878473984a - 236328332148694047996482564224 )x^{11} + (100318783972769631703283565408a^{2} - 317864761572208755724315623064a - 398831260879729597361396741368 )x^{10} + (107580390712750091721978503776a^{2} + 336530786725915157351223372256a - 62505595760180710132580267200 )x^{9} + (294407109967007406983603543196a^{2} + 49731959498424202490137611716a - 610877244197719093792481212368 )x^{8} + (-505324112553985079939183390112a^{2} + 243857766694206616114119977152a - 270854552409957066297474572832 )x^{7} + (-132292975844204139397449253776a^{2} - 554345444381122155123221717968a - 594933119099361645910245384416 )x^{6} + (-344397409035124619649853194816a^{2} - 20912434561457753769799346272a - 284241347219208639631855431200 )x^{5} + (236145933258503975705866273848a^{2} + 469990593380604002998888661984a - 603324232544517261014780219248 )x^{4} + (-491104999969212485618786290048a^{2} - 204865292354845660010800573824a + 540005407190514501666738086592 )x^{3} + (106060808004008048744456758192a^{2} + 438710231246264733872381597424a + 226571717843633942346448539536 )x^{2} + (592128336592080904710315791744a^{2} + 130207031358933467675551511328a + 238960315523447445831479843136 )x - 280123325115588728533088046376a^{2} + 72872900038883217492904187216a + 81948373309989445735704990900 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary