← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (-413371694875895055998054423660a^{2} + 4577137638821769192893205096a + 403032923191439107424382309120 )x^{46} + (-79438898197250530237598744544a^{2} + 375496011523865720389915541032a - 24930557815915318846046830064 )x^{45} + (350117231083876360186058707044a^{2} + 62554056181489571722615068744a - 266506457009096285730753023528 )x^{44} + (367976509327912561039835535024a^{2} - 241720204280752286718169358304a + 210964895990177352590986908960 )x^{43} + (-630115731162328424480402864276a^{2} + 392774178164499400356618507056a - 477878123030432870257387571392 )x^{42} + (-161690298508102732525775117264a^{2} - 533406375830625782976219801744a - 595867331999655262621888621144 )x^{41} + (342029046091271928913067511552a^{2} + 542025696274646138428565976748a + 231890655594750438597327076280 )x^{40} + (222917642262452270453270570432a^{2} + 271161519483190731326206440176a + 566947228738069470248438598672 )x^{39} + (632616396159279018533407383568a^{2} + 108612949338582685050873746712a - 178713156415058504466996441728 )x^{38} + (-455052136015186586445030520936a^{2} - 95089986125849354211255908008a - 210270214275458178993531200568 )x^{37} + (-451746462782699584855368865536a^{2} - 171317195766165499140422026204a - 460077001826699556454842633896 )x^{36} + (-377550198417858121879241879680a^{2} - 304909168692579413338887384176a - 477875237559957820220428742928 )x^{35} + (-529815379672830076568904855544a^{2} + 87484795548549157510047493852a + 550721003253016387353963191948 )x^{34} + (-442726678027357275200261757072a^{2} + 367806391673178023674355912880a - 284186329591137801502913347104 )x^{33} + (-412542994103107576805184222550a^{2} + 629359716151755875112955629942a + 416405973256640883467864715300 )x^{32} + (298051530696369016385747439856a^{2} + 190231765423191340479449430288a - 259486825385364038240432118464 )x^{31} + (214568152554868453537284032000a^{2} - 13250136180308299329162342120a - 597728151551370102969715066488 )x^{30} + (-176405972993093755751612445784a^{2} + 569618648702255544587579868544a - 321224468377004352416768353680 )x^{29} + (155176432984658900849339195764a^{2} - 199208711920085716003066243848a - 165571466312382852921896698936 )x^{28} + (492293314760102286372453428544a^{2} - 496253919939619490242447816064a - 274255242614284256512796753216 )x^{27} + (182585588497227368378510802840a^{2} + 134660595557668198805924308552a - 139489344594042635328945469784 )x^{26} + (459033915973849679962851568224a^{2} - 300806788389507096260629857312a - 59953184059924506335130460176 )x^{25} + (537049038675464377214848761172a^{2} - 212101922260440105639550788320a - 100855593503041526369127611932 )x^{24} + (583990069414488610098968226656a^{2} - 591218958728500884702835790448a + 275176155892520172759614792544 )x^{23} + (237072952535254042486620585000a^{2} + 574455203441060311149467413456a + 10759150510131057302808244000 )x^{22} + (-574488598174013430100299442512a^{2} - 359061215852713737001614431344a - 545618116642009630266637667552 )x^{21} + (-447827760400229755486056148568a^{2} + 331246385699461202538890731536a + 508382898657628878655060491808 )x^{20} + (-126869011353646527440507585504a^{2} + 332883078223307475440805258624a - 99028578796936245793798347488 )x^{19} + (159196530903923827456668495360a^{2} + 113585925081832052432522156896a - 177094082887644749579251887400 )x^{18} + (218567609720536377322106715408a^{2} - 25653126759720682623935207168a - 355703794227901039568538190368 )x^{17} + (-443772679155560281210693142172a^{2} + 373655618336856386199658055968a - 255379732639119867229802854212 )x^{16} + (-142154971945250158062233408160a^{2} - 487071481463663229524212318464a - 309909570434302435377372395520 )x^{15} + (-242090670470924170450899975144a^{2} - 480159831917080902757840876536a + 334018299416379169624340823496 )x^{14} + (-561303969954869597094671661392a^{2} - 202382001082998086409931932992a - 579517172417160497504840339184 )x^{13} + (-50016501808729999323521952936a^{2} + 408702471901922903090278013264a + 146531989447773427452276707192 )x^{12} + (12874162322323523789485289632a^{2} - 455999531216931817552543223552a + 218301261352268236983193985216 )x^{11} + (-397979523209820462322515585232a^{2} + 461486651728561669286051877864a + 121334928417005888583365022984 )x^{10} + (519675623888967737272627353472a^{2} + 350868110609140898371137229248a + 413442726937522388453995423744 )x^{9} + (-27971377828250279595985560180a^{2} + 368681459232415812544040176660a + 55752812839167815442366288368 )x^{8} + (42177443341001908961188925344a^{2} - 125247348971711190523759959168a - 69530432991857310375089203360 )x^{7} + (-150504885451892716852828687120a^{2} - 524413070851246501155228604112a - 169889626433314530349560004896 )x^{6} + (-174149903912148771966618223392a^{2} + 479044287627138015036146058976a - 168773832392298797156932766304 )x^{5} + (-67785050198774774015961266408a^{2} + 429617026042401992029163340864a + 222336537609900603556862891216 )x^{4} + (-116041953288459601594388124416a^{2} - 462270478170938704486921095808a + 346489469172695324167674016192 )x^{3} + (410869718684131891855540531920a^{2} - 108537676105283638196673891856a - 372988120274834926221712881904 )x^{2} + (67147008894955143548449514656a^{2} + 538851923756012882889542112768a + 482190762988371024092462463904 )x + 55927517621462765762322098232a^{2} - 127683158802844641071006327808a - 64576789675672735830465330732 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary