← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (-252194000607195529123012239240a^{2} + 594807765909349204637386800160a + 233145519260202270763564306480 )x^{46} + (-395519784596054638820782313712a^{2} + 266967476966280737382246246840a - 441592269700435555584774884888 )x^{45} + (134270794201204317314988216400a^{2} - 176767676650207973469021134256a + 358112409285302491763072872608 )x^{44} + (612084401656922417780149032832a^{2} - 171160217160518409508957343744a + 244909611265927409662728111992 )x^{43} + (-471207436133701185647203702352a^{2} + 483812360310079222716743930840a - 242690178735219480961438613520 )x^{42} + (584057161912353084378788067920a^{2} + 464117153854986814322276084608a - 608834472707182394147386997624 )x^{41} + (137464970261683050732827924944a^{2} + 460725684722597622671944007700a - 248324488798836868814314924312 )x^{40} + (-382517560753218846818994124128a^{2} + 116249675350353814618708766928a - 64401798164224126348834768400 )x^{39} + (-365908244647013002773697735120a^{2} - 50321815946213658547971089544a - 580770079812775908811827822868 )x^{38} + (-281664666733730566781612447432a^{2} + 532279054664638777657918562184a + 155139865180814144744890904496 )x^{37} + (-440204402955484558174956847524a^{2} - 565861961370478303136577961944a - 424222697292921796135072628024 )x^{36} + (213615595454918324132165346528a^{2} - 428339547472537564352628739696a - 317999967562063999598103114064 )x^{35} + (140447981934179998190467639064a^{2} + 399182766850350352437740868332a - 555195849116623370283937101540 )x^{34} + (435814732172519285316946755648a^{2} + 283699212493225902675995506368a + 73896798697111497179034111200 )x^{33} + (-43707293666987168249370210792a^{2} + 222595772762907713279852480846a + 1324292176419325239020619310 )x^{32} + (101528500471817217803252526080a^{2} + 517034494164143450039197859200a - 161716285283563927558215577248 )x^{31} + (183438056880207667966062537176a^{2} + 347341371315649211681557716144a - 596487302300527804191291401952 )x^{30} + (-240128424922877090210445989712a^{2} + 274382918145263469304694157992a - 513729707962271681076171703016 )x^{29} + (-397935414511481702910082423420a^{2} + 155972427610230825608082011976a - 156848810241993057736462875740 )x^{28} + (406773477535786726277451615888a^{2} - 201905757380075148491806087680a + 477372516752604884769339586336 )x^{27} + (-40242341011423753847493803464a^{2} - 335236348291536531459215040088a - 374771828807494239035388347144 )x^{26} + (537226325844098947155217242824a^{2} - 617556422975554922516462905216a - 465011167566234818285021691800 )x^{25} + (10113567950558894665998975352a^{2} - 543358298827954827608118422292a - 520707796536168456164513745616 )x^{24} + (483269232840571606729573372512a^{2} + 81330222826548331604347092384a + 364582614935347587076985679136 )x^{23} + (-124877664181715665783789083744a^{2} + 628877454968902652330915076752a - 102051068958511122567722410864 )x^{22} + (453092141237756646565109798672a^{2} - 464045601578459267712799875568a + 242490221764908719664890054144 )x^{21} + (-456590556129875624370986017872a^{2} - 250525978278349845019320735744a + 121178883040405137589062386032 )x^{20} + (122700233644406907993133716880a^{2} - 558826262541536300228797144864a - 258100259228097684728964614816 )x^{19} + (-235337532909292808816067723528a^{2} + 430287558139219011189633011432a + 377372679841358973759795055752 )x^{18} + (-157251116903162799651269839856a^{2} - 421349716211552797022683773680a - 410413204095245870018405765664 )x^{17} + (-385890676724197479568501854964a^{2} - 465301175477237005837245678532a + 62197709846721260038770920696 )x^{16} + (594030997392004952434246367776a^{2} - 620465243111749451515805862496a + 108325809672778318525706865632 )x^{15} + (-619757217440047935268063000896a^{2} - 9979122825207705886007921104a + 404176347149682178359016554448 )x^{14} + (-401357472110613840878497414064a^{2} - 44973833068524073750374152000a - 113899053774113346493521298928 )x^{13} + (510845376329229030456647880536a^{2} - 411853029408529764267698963280a - 431737764943104084584380771952 )x^{12} + (-430439462544018417870414533344a^{2} + 1675713424103840575514514688a + 21663718885238631341679826336 )x^{11} + (611825703997599556676430125240a^{2} - 408197040984891230695629451816a - 552397747618958016434090213896 )x^{10} + (-446379952067373682747454316960a^{2} + 609999663592021044593174435504a - 480612056681310597035004412544 )x^{9} + (88192083288245216851100677868a^{2} - 74447613808489180868071214892a + 374141793008142755703940472780 )x^{8} + (467439635173835784783175425792a^{2} + 383940385607964445774921457536a + 390353052436400318261536542016 )x^{7} + (625976518074828009510454066416a^{2} + 171464938853668644036454472336a - 32276092188996925813198456896 )x^{6} + (293395756672147279092069475680a^{2} - 399461377963232769685643290496a + 445511509522790616816781257024 )x^{5} + (374076354913728516813136361856a^{2} - 85379951346674367394255031992a - 159225216251024987634091258880 )x^{4} + (-306947604857399399246050688192a^{2} - 253749880378076072618088765824a + 308809723066500892943592825472 )x^{3} + (-316836453772477946875775087040a^{2} + 609411207229759445503458656448a - 398499266870456543775933017760 )x^{2} + (206981928593630443402506508128a^{2} - 77556385480682736103233498576a - 369735614801845318268692768608 )x + 481214087603062404483890561652a^{2} - 48131271248184063685821337924a + 372087759654863124313598628760 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary