← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (-556257795648389752776043660272a^{2} + 105667261100107372463983537432a - 357017412493586683215574705160 )x^{46} + (505546272502010258187571973856a^{2} + 50830658819455790876732934728a + 24128718048742604647836659288 )x^{45} + (-556644066115724228230102024152a^{2} + 168934772553232994741429579096a + 334009393421444826179217922672 )x^{44} + (-31710222925595786825809953808a^{2} - 524585529706022385258471139152a - 24402512428815819156665171416 )x^{43} + (619473293540840104254624357448a^{2} - 545592467557144868023679987296a + 190561311052026950394831699824 )x^{42} + (370293141633965631437781016376a^{2} - 184477983435770584552110177816a - 40174271053091190156355835648 )x^{41} + (100538061555818782801154997116a^{2} - 359364500064533600171622660236a + 70741719009869552020105559216 )x^{40} + (554465484418347593446137125696a^{2} - 178984787515145926223348071216a - 222236684203462712580614712048 )x^{39} + (-327829854830210836685964266336a^{2} - 602845109464257834766323848888a + 572450206398248292545915106780 )x^{38} + (-425983011985121866487412469640a^{2} - 289225528685429556535287950072a - 374844553083017360435274775536 )x^{37} + (524834253211526471190597367924a^{2} + 86276456927029759438522995416a - 505493748681875345273787873600 )x^{36} + (-57124380334167693177181366688a^{2} + 268583808478330924385993662992a - 529552671281813247113859919568 )x^{35} + (370384768918988793032112643536a^{2} + 451746016450901944088499877708a + 624355466284126615037153263516 )x^{34} + (170553169722832517635787990240a^{2} + 550596399334247997880953023632a - 531077195294489421760856735824 )x^{33} + (-439633556267024592686782431516a^{2} + 631646904864992773779798197878a + 598262336006285476352882341734 )x^{32} + (-182380946269832438445432494720a^{2} + 352324194786833216836700440992a - 379735498619352987438045384928 )x^{31} + (85947908921488513536723220824a^{2} + 322397306179498434028845935536a - 231797968581065277058398461408 )x^{30} + (189530442356548353108273251152a^{2} + 28712767181219688627755958056a - 359737491152098095924014227432 )x^{29} + (343495229237528637494872674164a^{2} - 217175307981475200035412126608a - 82769292056602896879368590060 )x^{28} + (293055813087510018893014316304a^{2} - 106530769817163310473689407552a + 486194890897524375006408528352 )x^{27} + (-600930583703569073437548181256a^{2} + 384943654072940153678900133752a + 490349334413899634257977692024 )x^{26} + (166562692576980842693617218952a^{2} - 215646718647886452448330752192a + 26170224741353938567779142632 )x^{25} + (-253946642708654731358033702224a^{2} - 28414177111628477884307957268a + 188210825864190414686781151800 )x^{24} + (-274831675511147482149172856384a^{2} - 110254512262304823808750746432a - 15700380869661815302547970880 )x^{23} + (443284609290145914271816879776a^{2} + 403843146667729193906135144816a + 158123151141796157842143156400 )x^{22} + (572398469777762135269545865392a^{2} + 102578090254127018927937426960a - 406661692944817957798493495136 )x^{21} + (5939425079281573571089672960a^{2} + 83665475334549626750149655096a - 535699486588956493794907732144 )x^{20} + (-92598997624369053310199020080a^{2} + 211450703232286980239359093568a + 176995670145546933131303205632 )x^{19} + (-154401601063897176487322915288a^{2} + 617781567168205732956467676072a + 498201897528209947904957832664 )x^{18} + (455172352775005854897131159440a^{2} + 61615939156406150994245283056a + 131964769606090109637095927648 )x^{17} + (-44615800621005723632412406508a^{2} - 184687998803667899578392018668a + 286695078388915736549230665720 )x^{16} + (-133270880128022205387273252576a^{2} - 74158837413923657006789251808a - 399939429001124307941454903904 )x^{15} + (-133771123829190244664952065536a^{2} - 28921372604669717407421546256a + 375400089018591709170047444656 )x^{14} + (-351155312279034953747772526224a^{2} - 429633368797266857102247059520a + 98281469259648619486274039056 )x^{13} + (-522941412246878825001033629144a^{2} + 294468857645374855682951880768a + 314835203686065389666472387408 )x^{12} + (274137494113200820084713862080a^{2} + 286860932394217849712430983904a + 317591169404322825201302838880 )x^{11} + (607367610182871569332311297400a^{2} + 277414068099448425764275650552a + 333690902886891947269776587768 )x^{10} + (129234277259919440345647175232a^{2} + 587471152558930439271944125296a - 617119470721861126975889775936 )x^{9} + (8191598741809188760428549532a^{2} + 94743930707719195411461376932a - 11245570910342219875313999860 )x^{8} + (-556992218616098970518344432256a^{2} - 164012243041588668675793158592a - 413035203591897117867593544192 )x^{7} + (406339662530324231309339793808a^{2} + 179941348992073430008572938896a - 13515555587949778708790187232 )x^{6} + (-271067663807324331902139659840a^{2} - 164034701749012832084109491424a - 123744399617773644299839038272 )x^{5} + (79945788228712982567734798048a^{2} - 305914019346190651305040284648a + 204466481008728267232194465344 )x^{4} + (155548276105788706288055137472a^{2} + 349258000529054247728874622848a - 316144132132799786740177687040 )x^{3} + (561705896871486756766751630544a^{2} + 506244986755183384872867773952a + 465689923761893278285731719152 )x^{2} + (-215457289055284248449590948064a^{2} - 15077317595795242801861108304a - 258466081912396039394198207936 )x + 508395241808822413735089107204a^{2} + 366739943336486330795088312028a + 503761368553656096468739376696 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary