← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (470827383484844211770578781132a^{2} - 84027859301122765361139382984a + 182228868068784676335829262616 )x^{46} + (-351938129903321034329388934208a^{2} - 100919248087592284265241777064a - 480424619352087313491583444480 )x^{45} + (-611888443358236665922834009204a^{2} - 592490448553408071033786188512a - 96185879440820973227326221424 )x^{44} + (-303620930941113853222620664592a^{2} - 584883486869373119879162046672a - 28332290883037147964543267296 )x^{43} + (-137424996407255455453413762724a^{2} - 188095449964080052443812045248a + 334371426367544583323965753176 )x^{42} + (616791552110106678172551142904a^{2} + 490611083827669130852087360456a + 240000625643747689702709307376 )x^{41} + (-337441936564998435560828766412a^{2} + 70979973820223313052201900372a + 528060975213978975970169012468 )x^{40} + (524794078821464527542133506144a^{2} - 484152290081208055318155466768a - 331615991022874351177556926128 )x^{39} + (371201491012212451170194769384a^{2} + 596223812382416553855095750224a - 106239559284409047833300950880 )x^{38} + (-633745424147379292175719083000a^{2} + 179017762505419401691672658264a + 303747022601632349957623284632 )x^{37} + (617984834600111416214494053664a^{2} + 276026564477881552448334000876a + 192422755177439975394161627112 )x^{36} + (-12505021195535029165135003568a^{2} + 152372276399095121667249453952a + 144563322904265013669479918880 )x^{35} + (-325281557691613922230964061592a^{2} - 609216194275921369240659467964a + 512135821067947508621772809764 )x^{34} + (577934101926588693023956109696a^{2} + 508318677894896673740119175296a + 149058823879844830377405220768 )x^{33} + (584095918810115168841676699130a^{2} + 466370432409949215610272385194a - 508839929760935432522963997056 )x^{32} + (494028487558415640717441887152a^{2} + 422180028073502649182297917648a - 397784210141914277370171826688 )x^{31} + (-20915349553497085926045310368a^{2} - 311714534699920383737632331464a - 288055231610792650122974837192 )x^{30} + (436207273938968811353454129544a^{2} + 219149975561905857218113563680a - 88852313300348436784582539024 )x^{29} + (285805537139222704696938620180a^{2} - 424628235891436710209420741992a - 591017648994045420424039458256 )x^{28} + (402038755113879420072632826240a^{2} - 84273161079819402914275946336a + 261683278457255966601574842784 )x^{27} + (89441304026516967080909944184a^{2} - 11505444214665487873408369088a - 334226960149354139242183879912 )x^{26} + (327330855498932531115438099376a^{2} - 620718221274148241610815001056a + 178364982788931562794911719056 )x^{25} + (-523202848940586160334271879236a^{2} + 426854997103824213441541693032a - 451583228217261739517158530412 )x^{24} + (-135694425265469017619656165344a^{2} + 456859655666359120848075648080a + 93324300387937418234030749600 )x^{23} + (632155175300669218247208985512a^{2} + 549520479381597984497522925664a + 346628831104061435051080337984 )x^{22} + (596646633992149017055727731024a^{2} - 15216973312058967329559945232a + 237077699231715105303849443392 )x^{21} + (-616564776941929598491235746728a^{2} + 44431687061295517083380144616a - 471890288460446672705797598448 )x^{20} + (50897976558360617708973843040a^{2} - 256180706882034700081826865952a + 143502906342291726036018607584 )x^{19} + (-569366743775720919041053021872a^{2} + 108222045057386644705587139568a + 353520337853163617012182460904 )x^{18} + (27315511406013083752603526576a^{2} + 403880616189649460227836180288a + 614572154869292124549534617184 )x^{17} + (-301099808963706186213668040596a^{2} - 71062425211576246885617182192a + 164446740230209196774801059156 )x^{16} + (358197330942204107223442351456a^{2} - 196274244541200278752735299392a - 131992002919845562741261992704 )x^{15} + (552238168390149589850040997688a^{2} + 34516946668211780306093100936a - 170436040311389684663986670200 )x^{14} + (-472262240926898558273917678256a^{2} - 76109939436405982817708865376a + 171520308027939038525207083312 )x^{13} + (85982968858859746741151160360a^{2} - 51194568366716716565850496704a + 355255735976264753630831826456 )x^{12} + (460491555102268017403512353696a^{2} - 307510469467855683072756716992a + 472316260278305836209080863552 )x^{11} + (481234240608908210357607529408a^{2} + 119365512800439995219978570744a - 581266180067861445040108375496 )x^{10} + (188654650380481328274372747520a^{2} + 590017826242961503458770010240a + 158362058723903276723005861792 )x^{9} + (380373691336434097012251606444a^{2} - 400256033887672555475418287932a - 422170755210457912334894905712 )x^{8} + (-559205160564159452773164641248a^{2} - 488237922304290498810606029504a + 329566732240560031226855107360 )x^{7} + (549931804005243802877661028336a^{2} - 35057649928682477776817239312a - 170813737482017348010063672832 )x^{6} + (168117639788950459614954907872a^{2} - 351768764952147627333378691264a + 305053623939515018487927572896 )x^{5} + (80058447683885516608975893016a^{2} + 522558848597345642458781787248a - 241670241234640901268328823008 )x^{4} + (-586617566213849488718468511808a^{2} - 366808272386861908527737717056a + 231593165952155565669478321920 )x^{3} + (261847029241740125626453735408a^{2} - 598829454094772490975735661200a - 296622907946684412065715732720 )x^{2} + (310189041095208716493067977760a^{2} - 516266635557072798585006936736a - 373674273648511939599460635616 )x - 84395924994416817604498707064a^{2} + 210527028949255469125400764656a + 356927535923933065004332324740 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary