← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (216139093488696158534270999820a^{2} + 591131996756077676209917548336a + 424612262663345917650544163208 )x^{46} + (-580187171488484922248680804656a^{2} + 221343005624271086686054456968a - 19854684753797123812591996656 )x^{45} + (-94854741388425342694000538244a^{2} + 322256877378629927041505419896a + 381887749894262083524689317256 )x^{44} + (-149734013592700604422528633648a^{2} + 120976731846020872839061030384a + 185686946236211218100647705648 )x^{43} + (-44855830054077825022261961596a^{2} + 262475223776026109652630345656a - 20950422424268965147427729608 )x^{42} + (-469230516272565581129769153104a^{2} - 430827892843355538593565658216a + 595416084865103379460014389488 )x^{41} + (339280013978201823693006507008a^{2} + 107779288186352744242266770888a + 175924370779919041382184000184 )x^{40} + (296962902575996086558150658432a^{2} + 201436629637628455530907163088a + 618814571090902728135186500656 )x^{39} + (-628396973133233568569578574240a^{2} - 501038330992233344541654563448a - 368841236873926929364497286456 )x^{38} + (-559988529851796206474522754616a^{2} - 157488978284801641805600688152a - 186988212879936875997468096808 )x^{37} + (-130937554874588725802015058752a^{2} - 591794683882794035301563468468a - 48579919651350207024078822728 )x^{36} + (-510506446776383584995942963264a^{2} - 155939708032959011621323488304a - 476035917795881789688864999936 )x^{35} + (435411155913845528767710044304a^{2} - 255443706614942165961989632388a - 411389375537769832674701207988 )x^{34} + (-379649237154674006181612415264a^{2} - 12270923347255320913092080496a + 435098798164103264625358376800 )x^{33} + (192414592536269587640953007126a^{2} - 166485385764157053036473428818a + 480136926169684411045258153272 )x^{32} + (181992473777001877497771319152a^{2} + 294570825884743472544248482768a + 221246675685737397056102137024 )x^{31} + (386493191082619657163658192160a^{2} + 378394433854201267916798063832a - 416041115381585831357016688232 )x^{30} + (611577829103616075841818062792a^{2} - 279286565883255398030862936224a - 15034474947959994685624778000 )x^{29} + (465935414938130751063292881436a^{2} - 242936130565997079527995114360a + 491102916315629496855929467232 )x^{28} + (-220570338218481824948134682560a^{2} - 364318463234226261899552586368a - 136765542258317674482583957856 )x^{27} + (502657477910473202887795907456a^{2} - 48925226107153176961048125736a - 237173578192175995847458556880 )x^{26} + (345000460829344851253835668576a^{2} + 256409192120915419738512733408a - 223457689846141182816100094208 )x^{25} + (-170537693749825632774675824076a^{2} + 428307539534068819907794990024a - 315676793214080713475744292692 )x^{24} + (380046628757615480507019498592a^{2} - 25964789317892235928694381040a - 326075466196198300695619971296 )x^{23} + (562211701639486497785915645240a^{2} - 491604311143472490437309196576a - 215724204606361156831650232176 )x^{22} + (127782333214025562647827918992a^{2} - 384734216838213816941075311888a - 377109615484651103614113704160 )x^{21} + (145436900104286199317181416008a^{2} + 244095657177324245193547055864a + 372298622908575941731421601464 )x^{20} + (-520760993886382889276968873184a^{2} - 442965143350334748129047586400a + 449067181565072928161888047840 )x^{19} + (47327128294946996583316569440a^{2} - 440513441734661048107257509216a + 594284843121890660024993694360 )x^{18} + (328159333378140906600072673008a^{2} + 389529085568330240232773863008a - 592649673540215292419632758592 )x^{17} + (-120781309465195078603854351836a^{2} - 446775226561177291894592488648a + 279422175090984536233458544604 )x^{16} + (-261895759177775085582027821792a^{2} + 123145602100935793659818169856a - 568046556702830866434883457280 )x^{15} + (379189722767455980518375464248a^{2} - 221304067832601957110234979064a - 431496759120825957813509902424 )x^{14} + (-328917171470404783773988190224a^{2} - 242302223944596513019760178976a + 379874997370906030624207150032 )x^{13} + (-526896701579687406273235867336a^{2} - 197824628381437208682336382384a - 382541187734347274801483417080 )x^{12} + (-417387970997762372363192054368a^{2} - 103053174126084973637449945280a - 169990777685502817531399132928 )x^{11} + (572179921953020727943598560336a^{2} + 308173823932967259772273518744a - 17644263053443859808530910760 )x^{10} + (-80081204001413913789358296928a^{2} + 209075010972289951486300296736a + 504924020059121736879496699488 )x^{9} + (-312927141768825181831695093380a^{2} - 538746799228217836658867370604a - 469955919688619913046510746896 )x^{8} + (-214765779037941760966762779168a^{2} + 184000347251957022715123038592a + 509585891503163442568486602912 )x^{7} + (-216338194284006069873598998672a^{2} - 310918680215104663417422607952a - 406210161182440552133176652288 )x^{6} + (435941923025388263398614796160a^{2} - 284110483283434796685078390208a + 152972701693269636394624201632 )x^{5} + (329223378583627711673196645432a^{2} - 116727379021608031204318746544a + 151733195666332760830757102912 )x^{4} + (295962916491904450087363943616a^{2} - 63210950128506785962063011648a + 513837573142645037521899680512 )x^{3} + (299280699651758345607776640240a^{2} - 245473294470225567500287592464a - 451665787335845547187371027824 )x^{2} + (202269041975781297368921927680a^{2} + 107998479321993207694488852224a - 325646107324140346442423486528 )x + 584425655956484547224020990344a^{2} + 81255654801447265774941486464a + 80679378184326275274567469028 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary