← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (110568797421187818869410526688a^{2} - 522220287177522725715658417128a - 185818256584847173879089534448 )x^{46} + (456765257398022567420094337856a^{2} + 37825173919822749331370842568a + 269281520528602797567287279784 )x^{45} + (-506851093444535224850969520648a^{2} + 149355152809391104883058931120a + 51208875613195937415677052984 )x^{44} + (118102635495841318760366140240a^{2} + 52440840843586913599949853648a + 335863682215343975828092035512 )x^{43} + (514914519883184612001043432280a^{2} + 416793989051894895677682389832a - 85975696696234367614885234448 )x^{42} + (517531981911966486797292193120a^{2} - 218251215864421607360341710504a - 143251118798449034542240474272 )x^{41} + (-435239550562266161285070837444a^{2} + 153108669849110290628593216424a + 504195608690919583872330789880 )x^{40} + (64859734573689575875611242624a^{2} + 446342194375126109702340591600a + 181792511585550941297857883472 )x^{39} + (527729009759440116561824506656a^{2} - 588381038960869660806380679736a - 592316369827082190566634176932 )x^{38} + (632986386425241290176522691752a^{2} - 193333782493782489595724068248a + 169595874342610275738772670736 )x^{37} + (-314117749543540706823732243412a^{2} + 183298868369582740623375793656a - 448635463621607321668396836728 )x^{36} + (-223382398409698728570360126368a^{2} - 118399855084679170299101125808a + 415049815888930272430101149168 )x^{35} + (-265454224151037201476072196368a^{2} + 315878192879496773225702724468a - 629197790261623891200530185180 )x^{34} + (-619982355385322793999248388448a^{2} - 294413350789599677325454324128a - 578244854671392916539199642096 )x^{33} + (-148790002164761301383218231668a^{2} + 255342371490987977801251084546a + 412831981604504973203573367530 )x^{32} + (-151762250196537517860286222624a^{2} + 597145934268759551851455852896a - 285521099845572930023850984960 )x^{31} + (-82709364570606070939861552024a^{2} + 234384463586500112628584109392a + 100760571240426018981245004544 )x^{30} + (292214802041324428463026990256a^{2} + 490426405799421305562995707688a - 495551095539438276899096497736 )x^{29} + (-540177500159282311586907248036a^{2} - 447143353804403411626151612152a + 12147295484639441269193829932 )x^{28} + (282689749178425818256202793936a^{2} - 10794294339492995482004603936a - 316189885440564624860001144960 )x^{27} + (185325968358815546004752440040a^{2} + 58234301650130627853033461416a - 271060578433392761499414546248 )x^{26} + (-91269499441614809366354942552a^{2} - 145354844636106193520327788864a + 75104277943743543529663059176 )x^{25} + (303145486300672453205674493776a^{2} + 313195654834374827305079855156a - 317658848492931122994838998376 )x^{24} + (151253825830506197188857260768a^{2} + 382386894273360686761930999040a + 596122261459894277952291871776 )x^{23} + (530105689457566355900096786752a^{2} + 292489376881299681192672700864a - 337100293820289902701523251344 )x^{22} + (-311387628927186601701779449584a^{2} + 438883284310485191233090746960a + 71807326197532996720830228064 )x^{21} + (-213140818421559258825257275808a^{2} - 237659090083208689314880030552a + 440146917364294674509604051432 )x^{20} + (-542339631387597154521328969200a^{2} - 179013519410888509027901936192a - 462167367020949984257479180224 )x^{19} + (250760674536475791486283514376a^{2} - 294653128262628139854545847240a - 253191610857674756187406084696 )x^{18} + (213229457966605951641794933424a^{2} + 489480892932763287628667956272a + 5984008325238259059883467680 )x^{17} + (-51794376376354913611850641116a^{2} + 249705898008810872369362825052a - 504278575614390361829552323824 )x^{16} + (569967418170984452395115683232a^{2} - 97609228294780307804400505568a - 218131570138519844013105953440 )x^{15} + (-464885863043400263386638255552a^{2} - 274535559086056887048076670544a - 450726394465630681950444761264 )x^{14} + (-575539506638899229986965497232a^{2} + 511097799096312531522384231520a + 381063441810997260662149957648 )x^{13} + (-396148605623309837922936299816a^{2} + 622398476376252483903538598336a + 539895432193846676797543850960 )x^{12} + (-331494359359863920993363250240a^{2} + 351825265818658267974262194496a + 299395995297945998800934204160 )x^{11} + (-161619156810228282899458547560a^{2} - 265405367009081812695721296712a - 187172473420344934104216008616 )x^{10} + (-469444249158513404553343336672a^{2} + 539298217267793324125864649744a + 261228980333352175509727833088 )x^{9} + (-31569344584850574539394763796a^{2} + 7004274612394818196456062292a + 605709733151457838612285624140 )x^{8} + (518101430299135376195122044032a^{2} - 305260955300701502565721750976a - 361523686772530304666036208960 )x^{7} + (428975353424940497901660496368a^{2} + 26432313711167503261937915216a - 60230560635474880585405852864 )x^{6} + (-470798992011107548505686335392a^{2} - 299584783984427090372464480512a - 500482873069521597694497925088 )x^{5} + (-278568902186689718987076583104a^{2} + 52041496815930697882268087752a - 102180476680833294791743448752 )x^{4} + (-423772644361712280998565411072a^{2} - 301619025824542460275193059264a - 376943162089952673146951108736 )x^{3} + (218695134611364041337076210032a^{2} - 344833630643980565449767949520a - 149609487657661560215860746208 )x^{2} + (153469316476996273707105939744a^{2} + 224799588569276508774039424720a - 610066237277795441694325192256 )x + 27538734688001519662811054996a^{2} - 270189027277319100834299454228a - 56602216357088605286807715640 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary