← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (165603838220503230571938688980a^{2} - 288036468542003879655857385496a - 256632408961607355764078464472 )x^{46} + (-228858631902107162986821567760a^{2} + 115590248813081024158072023480a - 295642821987379913261578384688 )x^{45} + (-196075427863511126108705858044a^{2} + 191343084242629304459082641888a - 482763181156706704759137279696 )x^{44} + (-195360975346189360861130645840a^{2} - 340141824435407658490366249488a - 38733267307215983507886281024 )x^{43} + (-464279491783945454979264847756a^{2} - 443848868963155377388954235920a - 326090594356518873795198167360 )x^{42} + (-515934249358059238923338824208a^{2} + 132838825538708903512082086176a - 577966111444293990788756138480 )x^{41} + (425971927155070747105496767972a^{2} - 181125055346319097333243812644a + 421314552527686359475777642868 )x^{40} + (-425655568250266650384663827744a^{2} + 97460853733189173535819478608a - 129024701226040428582505241040 )x^{39} + (-335634515019802034492988021728a^{2} - 412085223587542410353799404336a - 561712346706489640425057351920 )x^{38} + (-630627941952038926451572358472a^{2} - 236016491518330818449328739720a + 501602632897420117363274518488 )x^{37} + (427497403145921636995165782800a^{2} - 202032199779542380130554251020a + 310708380223468365054214339968 )x^{36} + (-474904985605567895427672610448a^{2} + 632040475468364047385933766624a + 295836866827206708906873773184 )x^{35} + (-469879819714755458427550673728a^{2} + 350706427183941162426418713132a - 74239361796261917784280578244 )x^{34} + (535424870469631188929157317088a^{2} + 587711759293392212974078938096a - 263118390867776872916449103888 )x^{33} + (359252715228506664113895976578a^{2} - 358057109838213564097850341786a + 610810095348548865442488738776 )x^{32} + (239119332094373089148063558000a^{2} - 546569384860549151127673236464a + 607518399298510766680659772736 )x^{31} + (-274768166286078408712035196192a^{2} - 568430676041258963081215284312a + 98564255784714637370020717688 )x^{30} + (151691637886694729003136161384a^{2} + 447517939786936293913317544960a + 239328580271721012503827848624 )x^{29} + (453142821849267220344038461620a^{2} - 314393491726764347744144485920a - 363786474221207481792109732328 )x^{28} + (-429585402444637472307855068032a^{2} + 106838317792222696515766460256a - 602752968097356853174439708800 )x^{27} + (-126217673822399766285294028760a^{2} - 72024701621585518801032034624a - 516469255176751961149466720528 )x^{26} + (527386577247154818341357859728a^{2} + 427444377181242532610702963632a + 510545487302626399766779321360 )x^{25} + (-204871882293894342362713653052a^{2} - 596045258608746792775271873824a + 17288341146383946906895962756 )x^{24} + (-79346108685109694270806755808a^{2} - 96878742030031341055197055856a - 444606941263669365553189421792 )x^{23} + (74658243981267740924140437688a^{2} - 123402178554266351646209989712a + 495952650740251710993802053152 )x^{22} + (189752334773627184773669251664a^{2} + 268243875146218770103840100368a + 246874677353132158728111333312 )x^{21} + (57010679361755336002567468632a^{2} + 489085812176439831031412514360a + 405558191923816698437456760720 )x^{20} + (366358115610356110825141450016a^{2} + 424902580041042797819203315392a + 578805127474532301922454945984 )x^{19} + (-435327664200056738771534506992a^{2} - 396696212872282703564190606944a + 361614122664167801973731989704 )x^{18} + (278894454278161445691250052432a^{2} + 542179158822345691668690794272a + 191002329103202139202236948736 )x^{17} + (-366019108531237368211284967700a^{2} + 439423852000998148696155944368a - 381878830706591548377759610716 )x^{16} + (483254135095780509867740961696a^{2} + 260289530636538810861809893952a - 497838092125074529779930642816 )x^{15} + (629641421361863084496217135896a^{2} + 531621126024293484238171542760a + 165460682372294393167403050984 )x^{14} + (464271287582106780598981778000a^{2} + 522020802631535088778091025088a + 396841747001403882727502928144 )x^{13} + (-304491177153043944988187548280a^{2} + 603597845617195859533684036704a + 171379986814788157422335776392 )x^{12} + (200258136539563847977026477856a^{2} + 339538606707423655061174885952a + 618830188608737190640694151104 )x^{11} + (-304661456485609304194579832304a^{2} - 220105365866899910150643225656a + 448378426697344774224421033144 )x^{10} + (475782479831640784210502934944a^{2} - 5076558452489311428867323328a - 76645350844182795665038102976 )x^{9} + (-484430114520052896765286819844a^{2} - 57165178727994671618247777820a + 514315185749648378280464822256 )x^{8} + (-332899579242724373502710997088a^{2} + 207175226715715735296602705152a - 261334374172947673071762210656 )x^{7} + (-503498766721234473626906775056a^{2} + 164003711163250036894378151472a + 140281702361535847190626370496 )x^{6} + (20506582316000382277144681664a^{2} - 399173418545848444741529454208a - 617056098207914041397232033344 )x^{5} + (314520954741699522289878634856a^{2} - 60226455461162355501546853280a + 517685698299917598752082677184 )x^{4} + (-74265192394295538625549134656a^{2} - 597657105601723002894458322624a + 425188690495303259209594193856 )x^{3} + (-263457847706407939423937360496a^{2} - 482992337928021890894922357552a + 500539092802093202449973316880 )x^{2} + (114840621622226676384516827936a^{2} + 113068232257246105207010346208a + 462491355668136490164268376512 )x + 500011686652709574312247152328a^{2} - 301371737910886089296153736784a - 609472615129564247416117771212 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary