← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (238670410523046889772544274944a^{2} - 107056961600786900210498072032a + 323135896714668608042773857544 )x^{46} + (341564388411874976524441098112a^{2} + 29440978673126279240448256440a - 384691293398341059151572873160 )x^{45} + (-525679165749110860733234514936a^{2} - 270314538008665906959247708600a - 575387773096035578625995458736 )x^{44} + (400375495228704988344251782928a^{2} - 431592991418561988907174186752a - 327187462690069588474031432984 )x^{43} + (133590143318242196324589001848a^{2} + 199621741185947845520024902328a + 391603980670912664379487118472 )x^{42} + (368156013487175238483520499216a^{2} + 407219001973321611573142090176a + 118738957734902089495814895648 )x^{41} + (318928925415713954857379211268a^{2} + 311710851998750327078884999348a - 223302521229978731407725973104 )x^{40} + (-4749434531811196455866477664a^{2} - 17430871362624248284488960304a - 618673334884743091319014898640 )x^{39} + (-429640877854161320284243230800a^{2} - 100336586158177713351695391544a + 562998940585383399160058310204 )x^{38} + (275759260083386733003928857736a^{2} - 219812151796752593395608726760a + 561628796041327614113139937984 )x^{37} + (-192732817317080647245272887668a^{2} + 166588165952082866909799402224a - 274862815958252634109630305008 )x^{36} + (158344498239216793438744292832a^{2} + 432814468688280074148369427600a + 599515389627071621554577871984 )x^{35} + (550804418053577038100602339136a^{2} - 325201783007877020573980041652a - 383513714691352805284183637740 )x^{34} + (-156614032113248287970617078784a^{2} - 345255473792078951068026399440a - 340966145190075063044747838416 )x^{33} + (96943179114466874515438017028a^{2} - 525131952255666975911700748538a + 363118441949332919753432060306 )x^{32} + (-581251927086810010039466385728a^{2} - 581178816517441083551742449120a + 29819959848325934176102118624 )x^{31} + (7103662481200855970865995624a^{2} - 257781455152844775721803702208a - 523482454666794948188775429328 )x^{30} + (-199367814209254936288191014352a^{2} - 360320876887108457974769508376a - 419963822765781102884868229224 )x^{29} + (557114237093648362325066533556a^{2} - 33364821357705553378658376752a - 444187816380976894303571153572 )x^{28} + (-306420582204724132744032094672a^{2} - 575627534916466551177938582112a + 579311322882916456302878264064 )x^{27} + (-222286312964558022902972362248a^{2} - 220145565522000615743701878872a - 281678642228436888063445907720 )x^{26} + (210993135694735386527052702632a^{2} - 435448577929481980100013937376a - 94142021228564076448073029368 )x^{25} + (63851854778761638488772034552a^{2} + 421762837645125673364456452860a - 455610428447603546958075379280 )x^{24} + (256507533649859962422378665024a^{2} - 577410550309641788518947843616a + 144652150096436829778287504608 )x^{23} + (-395778712363833254616319882800a^{2} - 509735249457641249695292472736a + 545025349252403929818082548208 )x^{22} + (583094447356480317430396200784a^{2} - 335847339751476805484739986736a - 435698626975678649135495272064 )x^{21} + (-312581055127350370865392096928a^{2} + 378941106053190329586006411176a + 234858267835279854881315390240 )x^{20} + (-416170975599456187333457997840a^{2} - 91022514010761126847185221664a - 172152598612092811470976885248 )x^{19} + (-587996434720612687940572159144a^{2} - 517434409298027481883142487432a - 484774222598485299217191944216 )x^{18} + (-472435586079222531037341742992a^{2} + 54135321814169013394052810000a - 287726239229428734312880409344 )x^{17} + (-198065409515739706244694744060a^{2} - 150531550258974547739804155724a + 37589351260456870609657193832 )x^{16} + (-328326759616152871084859972576a^{2} - 591701375555373239290820514720a - 603419512025022815382534409632 )x^{15} + (16306815938758741647524821664a^{2} + 470978191920049697682832033392a + 282338537696800146016445688304 )x^{14} + (23994311202054006177331831120a^{2} - 327885580611129522307887816544a + 179495559434968953398915139280 )x^{13} + (44680737995503028599215680136a^{2} + 472874886460440186031621691760a + 135520102819739031553175555008 )x^{12} + (-627721625310822398605927026304a^{2} - 306000743599698336404306102432a - 143533850630759347623035306272 )x^{11} + (-172855503802750757746643251720a^{2} + 293181225933357258107770167608a + 151942933564258553071715608952 )x^{10} + (279727834489725027775929736352a^{2} - 285094047427337025889012807472a - 190258171567482121238019857344 )x^{9} + (-152935186146917723969294429700a^{2} + 139521371133055995372523340324a + 362681830455622363205467515452 )x^{8} + (80817430709251156147435770944a^{2} + 383041246317466087055503770048a + 180876770182208349669623842240 )x^{7} + (-100320080521688653890759187056a^{2} + 136761413790239997508502212976a - 363612238487313987441037008480 )x^{6} + (-115133531610338399623535845088a^{2} + 3687618746333410462015909472a - 196032172346763228700006209152 )x^{5} + (21206744410351749910791856576a^{2} - 521992640575300728102903171288a - 102474949486352321043136881584 )x^{4} + (271088179800702831920691483776a^{2} - 477540732244618252916557637824a - 114530652713581464861883343104 )x^{3} + (427736786933298702139988424576a^{2} - 338951795156661960030269778544a + 280780772602115998357771015808 )x^{2} + (84961722662150483363347829888a^{2} - 256928861304686221024546293936a + 288022711305107544566868710496 )x - 98059751512965476975169172940a^{2} + 510676465278584130240241133484a + 558419367886145001073260576056 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary