← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-347778261569651817956927493416a^{2} + 113228006355312443473736033000a - 409204056321250976972565530736 )x^{47} + (-57873640076526738173995564112a^{2} - 84668748630752480450217463168a + 596823775500226419723551584016 )x^{46} + (-389249135352484388409910999776a^{2} - 159642883413474033552840137608a - 152046214011490984765208477016 )x^{45} + (132729697611324238200298641592a^{2} - 582359578879794788390111481856a + 374793216830858406121539371000 )x^{44} + (-388346760793690477000397937552a^{2} + 319285069135079322367551850976a - 19976147938796552723776714472 )x^{43} + (60677530589323449750149466248a^{2} - 485690352387986890326085442144a + 236770825583520621719003813256 )x^{42} + (493407130203575227248289649016a^{2} - 87217458312254552707522980160a - 35671115938347916549080151344 )x^{41} + (240434122538721216299028389628a^{2} - 88302374908745152762744166696a - 161333463435840319140169111640 )x^{40} + (-370478169338143136498250180640a^{2} - 287935274593468462539756808656a + 531481335180721274201777841328 )x^{39} + (-355859669269388581892317036080a^{2} - 424062632813074738840568616632a - 53474327647560462624051817092 )x^{38} + (88380053332722020972103159544a^{2} - 47614628107441196811554188168a - 622854495512483717861650418336 )x^{37} + (175300270790649051997675271924a^{2} - 436528542909368491708014651840a - 461477098067161650563038208104 )x^{36} + (-220338797023880010353431545024a^{2} + 438024167650757921226724542896a - 202246584402759629709900192624 )x^{35} + (2952433079195481776944201152a^{2} - 77631217541801682635037139372a + 50772752147340927304251128764 )x^{34} + (131687480962563788691164826656a^{2} + 555423956368815452999648006816a + 202557309725603982901091844688 )x^{33} + (328390911551993793754109099156a^{2} + 621876837758194958279135534802a - 193050342801826788953479195282 )x^{32} + (-102614175721122701588254800224a^{2} + 536240675300581889755504702688a + 85008820472525023741708253760 )x^{31} + (453468453769912072854338719768a^{2} - 610939584702348346110758297440a + 470869626481182565706118315184 )x^{30} + (-255969307020151820707188411888a^{2} - 72427848746389178975292442392a + 479359896878996899666226766968 )x^{29} + (430622704173600558533836956044a^{2} - 593251476961865558722543880312a + 380550227311920244992636001508 )x^{28} + (262530159277459300645303963312a^{2} - 328307878764062931778748835520a - 281030618899991505060364911840 )x^{27} + (140299090261289279728254665000a^{2} + 573109948514535342835056154968a - 335457311330777908283546488328 )x^{26} + (-553164210616258235554663665496a^{2} + 551731368375243335046857186688a - 241715237066515333897478029144 )x^{25} + (-241189158733999712943041521416a^{2} - 607178430638990146074386685148a + 203500666406852468073954336208 )x^{24} + (-43511157483094379499019369952a^{2} + 360695709392528350662394992288a - 494761173465696360395323538880 )x^{23} + (551510371587886023255463000208a^{2} + 326469622752976731225828347280a - 16699469855825200277453687344 )x^{22} + (-125695189613150567491697484432a^{2} - 273753583103682283239879798128a + 302458070453701723551146547712 )x^{21} + (41110163522188605029678109312a^{2} - 422629496708860247740573037544a + 429196490487821923306054540280 )x^{20} + (-389155632641289410014595605520a^{2} + 167988059303139461890669095392a + 42236308732061826595364232192 )x^{19} + (-86644784451689936749824427400a^{2} + 87356763500997934612309817896a - 486007455174781356304686983240 )x^{18} + (-16840141800293770412801231760a^{2} - 258405997474074822152437978960a - 508945416435929131208822021728 )x^{17} + (609234181399690363913194004324a^{2} + 179075314207573854639536419980a + 11196297452751018099338915216 )x^{16} + (-11967493992647186389579667424a^{2} - 449883559901630701909558743328a - 537957164116038231277675736288 )x^{15} + (445054016080570965937584575648a^{2} - 199682203855800910119919456144a + 569916184968030892466073087056 )x^{14} + (-64706103324341874336255958896a^{2} - 375196132760785202900312075072a + 73471814910200753498680101136 )x^{13} + (-630119426287024051540082507272a^{2} - 73258336170160977023578868048a + 215152697052004780706861849856 )x^{12} + (-442674484494506107821657117568a^{2} - 94490208663675039345834795456a - 529963123019736673312683204608 )x^{11} + (-603100016898453004154895877992a^{2} + 117731990286347077728275580024a - 175181229016031390901415901832 )x^{10} + (-131171608564037586484714304384a^{2} + 184543318807869978778352516976a + 628089012014248177486130199104 )x^{9} + (208741103526495360523467855084a^{2} - 383811737078284525254978889932a - 630908956828193821887696018308 )x^{8} + (-9062755420899270002402842304a^{2} + 181508065677763853994451355328a + 257310292719434032424235414272 )x^{7} + (595735162587607031430463344944a^{2} - 204001658437142067307311126608a - 453259187101265673106993600 )x^{6} + (-583524000998680934748332283200a^{2} + 417687612304085319160779891520a + 160243955192353549458146347168 )x^{5} + (-30445544945870394855139800512a^{2} - 369424453042579856799814647816a + 520446942217238389892467078688 )x^{4} + (-219396716983235433455422053824a^{2} + 193477882918278144238145269632a - 327515608923821772576010558720 )x^{3} + (259472190971040433827861679552a^{2} - 122505877390955747351092042784a + 107761350816206448166685009456 )x^{2} + (-2733069292461947442710155392a^{2} + 396310263420667210244054067760a - 98327555598839485401348523424 )x + 83852120519922018344706680292a^{2} + 601558244182197550077190229820a - 157669808402154039121311705848 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary