← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.29362_592602_620648.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((-86233591682372760198157729833a^{2} - 46966632677386145518546877534a - 78452161141562729582665176030)\mu_3 - 309270483910552841716237394640a^{2} + 44721983538843240726398833468a - 178249599065825457388338956383)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 3)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((-2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-139824203071046058063699690896a^{2} + 571168050997745831225060414080a - 333726677782192352152607603440 )x^{47} + (-384231093722385568580346951564a^{2} + 45298567246889234891361378960a + 547778774317533349350382237752 )x^{46} + (358287305607812380581274820448a^{2} - 513762088801529383478153355832a + 590530926211679593912085195712 )x^{45} + (132731237073823837799724541428a^{2} - 547676068491981051801785278936a - 457966057811640595573133897208 )x^{44} + (-480252960716095134478255216688a^{2} - 444026100812655532363039570704a + 220059429388969991293691163664 )x^{43} + (-302763088306805741971388503524a^{2} + 191810524535704187613377604168a - 331495740051409930936753153024 )x^{42} + (604732421718859793481600159848a^{2} + 324209549288949679228597562656a + 416862399205111800821220768480 )x^{41} + (-394072258579801391805110270536a^{2} + 456068895166667593886458612560a - 26404344667891793292164690592 )x^{40} + (280019801000717848650242680256a^{2} + 553086098224592994379064933680a - 116858280790196780338914861104 )x^{39} + (454419332733401954177521924440a^{2} - 394932907543836778787635379704a + 553635416171212060078914234312 )x^{38} + (55520055596161547647450009016a^{2} + 480091273485265070399527027496a + 525470072713644593538498637144 )x^{37} + (163119330015981276947136183024a^{2} + 193056853378781694711176563428a + 477577182534482988427421981376 )x^{36} + (391377656825000103718676066080a^{2} - 534534840249718202958590582992a + 127209362368217387164181578848 )x^{35} + (-328164748473768746901105427960a^{2} - 31772611941195739378584037100a - 604211515306884164367875094732 )x^{34} + (-146869701386338691188046598048a^{2} + 175191812525082927061675893120a - 410991176231540922952832388656 )x^{33} + (217340230800574501558002660254a^{2} + 565284166298807363041639261434a + 315545188926338526437703811768 )x^{32} + (-309231913668925585674222810704a^{2} + 374504053606384244530791526352a - 78317137270674532171658101888 )x^{31} + (-100382718789933190895513452576a^{2} - 72647205795531510116125682360a - 143076053775740643552550043080 )x^{30} + (154852911846591367178506168680a^{2} - 196296772946386445397901797440a + 450521734100626015855315741360 )x^{29} + (-554372092190178936254651061684a^{2} - 408706175554834519997032288240a + 99461219899178181176943670280 )x^{28} + (470761543312589701547460425536a^{2} + 465502833869917399296277311360a - 138648276283623803808407014016 )x^{27} + (-301712115926818492038890011648a^{2} + 177961137429142254568219535576a + 217916396471782738701517754840 )x^{26} + (-377813740536745312933147774976a^{2} - 336774145682408267977541175952a - 77335213491562342467149976768 )x^{25} + (294595471665187362535015300476a^{2} - 61706586225178831431091286144a - 591684679140337689892935316580 )x^{24} + (-74458374773786633668784487712a^{2} + 94464342894152039309145094480a + 624984064572159072410741489824 )x^{23} + (302808889139195825539333156104a^{2} + 590898586778277333129642417584a - 50893567147865773105249065968 )x^{22} + (-261111027366916122089344661872a^{2} - 384035764515347329173420696304a - 368494929348993998759780092640 )x^{21} + (412537602313653156003352803688a^{2} - 440799835998773924857008023960a + 423669268054247566202526185720 )x^{20} + (67674220241513260061638927584a^{2} + 260417240983890053821221568a + 494419203157182642398907190848 )x^{19} + (-231846909807493218424239154016a^{2} + 78780735026858806172698372976a - 548021921380839212576384350376 )x^{18} + (432788316451230274397080327376a^{2} + 59928136574320743633245925472a - 28519062324623892331083568512 )x^{17} + (436182334334982583521226810596a^{2} - 379352771534825748688659742056a - 211308316365066481311843971108 )x^{16} + (-50359094714188528490987639200a^{2} - 378274453220311347952381324032a - 126040208450654320758072948096 )x^{15} + (-284729026592241481731502546472a^{2} + 355688983218308465466962922024a + 327043905883461153867763533320 )x^{14} + (615336748294293767040149720688a^{2} + 300699613851541257013791334336a - 153586102148591835561837816400 )x^{13} + (-405792251207447572099342075976a^{2} + 414761757566669585440227728720a - 111129601337425290704133420648 )x^{12} + (214394420367580236979046906016a^{2} - 78727120804542380269047321920a + 210998747465875864043572887936 )x^{11} + (15475090959566988767787983424a^{2} + 150173883097609126342150811144a - 399779208219013190112178385096 )x^{10} + (99439370608945955512192001792a^{2} + 560270337527919966547070051360a + 359663082440734695056211912128 )x^{9} + (-605715018329739932318243468180a^{2} - 22613097224531797044735529516a + 613685701007942882190569912336 )x^{8} + (-147362454802477352150123309728a^{2} + 392789125249239983074698373952a - 151471636441116354285015116384 )x^{7} + (341767179376533812578996286384a^{2} + 10536815385850356819326266864a + 95464540840400975483144242432 )x^{6} + (-478477784617573389109466119136a^{2} + 345719900071012046549776903104a - 572589229977893995142422421824 )x^{5} + (-469512034306672013074644499096a^{2} + 417225446626681811460105910976a + 320739155515476238395881600512 )x^{4} + (631756292923912741221102719808a^{2} + 461391376279141093886659158080a - 53152982554524749727340530496 )x^{3} + (-441313942604595475419058105488a^{2} - 480850191914945962258180660144a + 492363074640919935283187206704 )x^{2} + (559872553115632080737527065088a^{2} - 404333672940592114143683716416a + 31293968240733500946276935264 )x + 557951674813703457652963908968a^{2} + 204951823919253968502163231520a + 265429318114215614901313309108 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary