← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (-317975943667706068629608735768a^{2} - 278353006102333792936031417684a + 177949092176932954996420110600 )x^{46} + (336431876528588023594245656616a^{2} - 181828726241509856629987635000a + 495362734570358144776133560000 )x^{45} + (-45456506175556195698313055448a^{2} + 594743362267706981512487761056a - 563301495155896055185387788608 )x^{44} + (-27623435740295667346248642080a^{2} - 99048293482056698288086780768a - 404308679911263744634087601696 )x^{43} + (-594883399790172768983255929460a^{2} + 310768613474092705034604460924a - 89875384402724449825977276484 )x^{42} + (565884010826321622507779547448a^{2} - 76687266959318405893564798872a + 155535381362682238202034923136 )x^{41} + (150983256578821948658275681480a^{2} + 494108977217681479680348170048a - 587235947295991248675356387996 )x^{40} + (275855596656244581319204399760a^{2} - 156310931089808692236044757344a + 230951319450705726257487195328 )x^{39} + (521790117754103679332987717784a^{2} - 165776080946123001353955920128a + 232999977965542849875750663056 )x^{38} + (360568975946036769853481761000a^{2} - 304637640749557071521008827080a + 256721085644615367069258864280 )x^{37} + (451187984933976339932931653848a^{2} + 316482884496520823389122569308a - 396508484138797057191417256280 )x^{36} + (-597960559245444100716824388256a^{2} - 529316205815297355592860801008a - 57242499876852734249507760240 )x^{35} + (-515175296253351295953043016920a^{2} - 244620475114206625808167199944a + 227531335994015449783105603868 )x^{34} + (-195473611965024585317543429728a^{2} + 200497732902368400988658535752a + 606297522609844338287513078232 )x^{33} + (352000703184939282928001551420a^{2} + 417103013421101213945441092050a + 554902796531691425950278292952 )x^{32} + (585990938298475130152798139376a^{2} + 199448183916311981475741966304a + 538492185836927085331936820336 )x^{31} + (-523636410510910624307624342040a^{2} + 520064131427475880031896599944a + 3334282312126043786964505216 )x^{30} + (484018157068526267468132081280a^{2} + 148038380939740405958399134360a + 603159571183062248313692525464 )x^{29} + (-45199640022458539831686412660a^{2} + 249827130684509953104896375964a - 278523400729678555381344766984 )x^{28} + (435726145488962303321898749328a^{2} - 314575597878791153038988975232a - 241563272779995925432525940656 )x^{27} + (606299078607278153562704745776a^{2} + 189016434065018607128647289304a - 44144810610802633551661977824 )x^{26} + (-98149976085994463095036412256a^{2} - 220442150536474962806048459728a + 422067462069206173444508594160 )x^{25} + (565936646656166718713325420092a^{2} - 438114482316815578143140903572a - 259170173709174855728123050948 )x^{24} + (351321082907729165875568970016a^{2} + 624066119665014835150449523616a - 85872105641676100143290652304 )x^{23} + (-256260816573831046745903912128a^{2} + 189776529187707706747102204632a + 175879363073663689911862038400 )x^{22} + (515428203114627942117842866592a^{2} + 7259381785165941947411066416a + 87734363205191435418590619856 )x^{21} + (-501463252005158772490234266256a^{2} - 324112167023207741013008961688a + 628764133299814207384983285168 )x^{20} + (-315196182361078384329432888736a^{2} + 348113133340074943230233167488a - 380648661343304691985641338240 )x^{19} + (-549475537355078792878196213192a^{2} - 282340721391035179888735556320a + 512885702776286497321351142872 )x^{18} + (570798836154865825847058888384a^{2} - 464695141207284516409022577456a + 453785593123680638211444524832 )x^{17} + (-525443101430244117369324417172a^{2} + 466711406715706176527016406416a + 31088043086306583983852170128 )x^{16} + (-548744263672249615279047544640a^{2} - 228532680077321486821478518304a + 305831362492869185796010578560 )x^{15} + (-391968245493638380346392095624a^{2} + 311361995880057364263488693720a + 414945323827987041405963689152 )x^{14} + (-433592680391697033651986627248a^{2} + 179380758366387255756048992400a - 419472111144147643787851720480 )x^{13} + (537216447240901750582160602008a^{2} + 319899943188262968476028959568a + 194129340799220630527595110008 )x^{12} + (-316527074491492633560963369984a^{2} + 111170392251706207897168243872a - 266815497429275906370281725632 )x^{11} + (-473782875485293033110987738816a^{2} - 292348946148929347997185849968a - 88619209099226952669356980536 )x^{10} + (473835586764004628568979563776a^{2} - 194431341558386847520423987760a - 262177837200881283821741198032 )x^{9} + (605762590852927004736221010544a^{2} - 536388883706372797671987800116a - 432560931246260771115988717336 )x^{8} + (429855837066108276790435195584a^{2} - 575775146143071902988404912384a - 304852717401989498537548887264 )x^{7} + (-102330524264766817419771452224a^{2} + 544957854839193082300053867408a + 543010041090084661182150261280 )x^{6} + (-503053156184057231376255007120a^{2} + 172517068169264144327129435280a - 179635863920794867398740656368 )x^{5} + (-25801303089921100182372844648a^{2} - 524138594649813531286207350568a + 542132328878273723997977030192 )x^{4} + (472579629548753685264821483232a^{2} - 567566462122296730764773713472a + 320526931313266489781062648736 )x^{3} + (-221886100135270694256413007488a^{2} - 277353052065243997353654583552a - 111051237190298934224191426848 )x^{2} + (345026606826008196470814779872a^{2} - 315041304467345544006848868576a + 401090263698265325368896131392 )x + 279519706542011697953641479128a^{2} - 477375457491064047546043697448a - 256238447741175358631791330588 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary