← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (430776924409614929107732985496a^{2} - 43205577336826868991136895156a - 139483490709430937231723502560 )x^{46} + (-56887140412454687308716359560a^{2} - 622726386413390280266353863544a - 432532162665339083935440806784 )x^{45} + (564474940963553871805477657768a^{2} - 22136683335788497451887549160a - 178090448961224962350003196640 )x^{44} + (444687110819879744751808147232a^{2} - 441265710181408902145742206384a - 122160434689899290869233914992 )x^{43} + (-414709316139773703998044276396a^{2} + 10939310232667821531434391532a - 66825140003903006457804691060 )x^{42} + (-539482284480281079076333917248a^{2} + 78217772723006652200515758240a + 608701964013863068137383693928 )x^{41} + (568839322033882882667217558836a^{2} - 631245777942639240413172108300a - 391804934441938393093730640808 )x^{40} + (-119029006432749399616745242608a^{2} - 152565690900476467142545994848a - 252198364363730981815469588480 )x^{39} + (557850762600069766362930225912a^{2} - 204747826891114814045966662840a + 288496686646036018769080450368 )x^{38} + (26739322389380859741903369480a^{2} - 435791241228131421284663444968a + 106874612624155003740856514632 )x^{37} + (-590678076060673073798456194360a^{2} - 208858763163596839522062965308a + 571520299604532018388249568792 )x^{36} + (265173552691463495348515633088a^{2} + 520857255912903919506080774016a + 99684335848138691170757600944 )x^{35} + (550355746211226964358887495056a^{2} + 579012952642954369431746503880a - 317877751818901027390175066604 )x^{34} + (-299772045951930451652336910576a^{2} - 391409848181447561594788199176a - 335029821365761663316429347032 )x^{33} + (-173800969072893201571565321152a^{2} - 278183524705834311514563205666a + 149852707396295537129848378652 )x^{32} + (-241659931940120845913480749328a^{2} - 29743529732979958310364714080a - 617926344491544403045493917872 )x^{31} + (-170444297528755013247460408104a^{2} - 42028876399869966963123230728a - 265179097487623606961044119056 )x^{30} + (284654428883062924920116018240a^{2} + 295528462576797105661809939448a - 547925409676727184624166636552 )x^{29} + (-80339955593793483474195609588a^{2} + 621974815936956749799006659668a + 618572240554713314263313112400 )x^{28} + (26603375536624519647546881904a^{2} - 390593010475166152850002389056a + 476162788275539314172695856496 )x^{27} + (633574196586151738510531786712a^{2} + 179630800053644004169995119032a + 571840319753913563434605516888 )x^{26} + (452126425924595645834156999728a^{2} - 508432184920617084322080010608a - 591743671215806064221974619840 )x^{25} + (460237446841172995475895138836a^{2} + 84407697340164193417933336220a - 252830835311355470892989091964 )x^{24} + (76709605845690355934749779904a^{2} - 79856822107425474463118871584a - 318533336024642697907561190640 )x^{23} + (455851607479483309582414522240a^{2} + 57877156103010373418494948264a + 385826912982526973837819964000 )x^{22} + (-266980362658594843261858991840a^{2} - 429887948819894578347042287824a + 124524234482868068304665472368 )x^{21} + (-52088355836293519130399208712a^{2} + 439214118506006057539719265656a + 266911569757073646062392547104 )x^{20} + (532017864868538434755536002112a^{2} - 623888535417986877569404875744a + 627737535009713393759313122528 )x^{19} + (-171886145777982330017184167672a^{2} - 470403213334269768884219451472a - 198768778316899705534824957480 )x^{18} + (-237335310209371255306912559264a^{2} - 335955231573295983584367423216a - 555499935053465374869872874864 )x^{17} + (479457398774324185553630807236a^{2} + 368525969687690790233401640824a + 589491971983617501289331757416 )x^{16} + (-322037341000964960613846174656a^{2} - 207752298038036141271020563232a - 509170884614105019776229257344 )x^{15} + (389799479054859881096487219928a^{2} - 626720710922374335791532916840a - 258509925478271511123351041696 )x^{14} + (-390550384450144712162568520208a^{2} + 99531637343995224462352344688a - 262219669173789095610441316224 )x^{13} + (489065492530851722706516008984a^{2} + 285571919334296949202783734864a - 334623644088583984151839878248 )x^{12} + (-28285102570060120975842961792a^{2} - 525772325508456833910536481152a - 498647370063547941731722677216 )x^{11} + (550472699409335206275273462176a^{2} - 238990433904369019651909666048a - 400089850372937827347141626920 )x^{10} + (-415429762338779925670893272096a^{2} - 224184052633617050375499997872a + 473553461273620538171370607408 )x^{9} + (141581583965149535217378280240a^{2} + 344853477230187750784448614540a - 22325859234971911956779571688 )x^{8} + (-126936388916978634380131306304a^{2} - 267228968706698967979697581760a - 221425495395947203459412281440 )x^{7} + (293539312295970179443867331232a^{2} - 489644498046201077871911884944a - 97102439794531675579791136224 )x^{6} + (-451864771407544962496692660560a^{2} - 200004210165692978652208849200a - 530315130391710292938126253712 )x^{5} + (363852239076520946783412874968a^{2} + 423350861684406739033814400984a + 169180496435198592125013448128 )x^{4} + (445711284839962755963316907808a^{2} + 157233142832177903310446926272a - 630876512740094149073441506144 )x^{3} + (146911010578991754956455874784a^{2} - 279429786004541648171045782752a + 456243981032550899219799398336 )x^{2} + (-437289220269870851076344141664a^{2} - 322030704770439867073453031776a - 471983964820780762766082003168 )x + 298067945466790696741145843416a^{2} + 42265659147053680890278918584a + 211083992078562313637465391300 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary