← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (260582079151755521578387621712a^{2} - 315361413382527647249498670700a - 291923514460236947492880630920 )x^{46} + (437461773620310751160078639320a^{2} - 354788670304370267400012032824a - 378912650514503002329564068464 )x^{45} + (215951083190059496228510631664a^{2} - 266182190887595789357946655312a + 453132186110311975319818096536 )x^{44} + (-514817884041978214941760182688a^{2} + 228651227739098002277127694960a - 498752678276145198332916985296 )x^{43} + (426562944672194838640325040316a^{2} - 116264668347316876040432182972a - 467827531458343038378010585844 )x^{42} + (285924392721394101950615756896a^{2} - 115168042731350704253212349064a - 632695903446974646820280993160 )x^{41} + (367504748745182708951708926804a^{2} - 138553104818342587919014604092a + 599422462846488317255917772452 )x^{40} + (497437608444296374654568847120a^{2} + 130999659280038035101104141248a + 389632289636493563364096257792 )x^{39} + (123709591550041942172230123384a^{2} + 213105166410750439984774754216a - 549852242416332875755552291208 )x^{38} + (-57859969798725627370237849704a^{2} - 631368589127996063030853568888a - 430168895765957430947714923944 )x^{37} + (-576064919280579286032771031008a^{2} - 357367315271848622134923325724a + 26144206308152685106353230008 )x^{36} + (529245789403329479870777716096a^{2} - 402488930479093527830063017712a - 457271883293182868109435481664 )x^{35} + (-448023798491879922129760184648a^{2} - 456864506490687597907716023968a - 337731545033130905150302207036 )x^{34} + (126414930727985424018435150512a^{2} + 248048013040370217585759490056a + 535764524554325169396444981240 )x^{33} + (467612041149969065444833115492a^{2} - 355081825925215309957755402126a + 29012894308704524739211113668 )x^{32} + (-576955308213021575225916039664a^{2} - 397011145818081058120282810784a - 453982717661811407278625444880 )x^{31} + (-33973063710478740428449514248a^{2} - 513261116754010164479000998488a + 42164496783930189254858271856 )x^{30} + (282287991327656287824426077408a^{2} + 469223244717228771659073830840a + 9816203187151238596653853592 )x^{29} + (-250203369154506780994522365588a^{2} + 276328337193008612072664272364a + 473273532349300353019760041232 )x^{28} + (-137057603846148742573422408848a^{2} - 199191323287159866363949119840a + 524412556732649115530253217488 )x^{27} + (-437021996596046833728093897840a^{2} - 9203153109724350764069424152a - 154549989211482753332747339160 )x^{26} + (88148162107966620414224488416a^{2} + 520581063502166128869269115632a - 434871704420020764491913765376 )x^{25} + (111177507852395809313322914548a^{2} + 243210371492557054181633821252a - 384683481636167526093139913740 )x^{24} + (519376734660956610853744451104a^{2} - 61313436009592780285378985920a - 554481738428553823868281910032 )x^{23} + (341631596516663082359507496208a^{2} + 123548946420432081189711161752a - 139623762028658341387626289824 )x^{22} + (218913768468918856545630632352a^{2} - 527375649447705878481276305616a + 415263672274155875853424264016 )x^{21} + (221307007266664521231639448144a^{2} - 460122381795769024657757955104a + 32376367904638690081354303360 )x^{20} + (251036783684729009308298170144a^{2} + 462045060268164961910785323872a - 621688310211563031909203820000 )x^{19} + (-62505328614286476940168168456a^{2} - 339379885501736495902049029200a + 297170391677961432710243356584 )x^{18} + (-512102007226113742557126137504a^{2} - 449844192090897420351855134880a + 579633162857637684485395207872 )x^{17} + (116932386666087209832949426148a^{2} + 117990598362459892826067876232a - 432258238470971488034668168768 )x^{16} + (493416444148929443503989255808a^{2} - 548704520906449358270088231072a - 584867311547176804303458918272 )x^{15} + (-406210674831870469414172045416a^{2} - 572450640521382813484080496168a + 437330838257097712685828398976 )x^{14} + (431572298556225634360993319888a^{2} + 245155291496211359858461681040a + 398122451758086007563679652384 )x^{13} + (479179641793131133965795788520a^{2} + 376680838952410248616707462896a - 569572699753713063179931720248 )x^{12} + (-462326915502982375211972555680a^{2} + 186608863922862545880263063584a + 143066480483890089761536213888 )x^{11} + (-114062436603872741041667060944a^{2} + 470576766358303509835892952064a - 122122384596103802016888884856 )x^{10} + (-21152683730803640637369791264a^{2} + 445736323136563281303138870544a + 531955542875524883468527622064 )x^{9} + (334803286572791467642245105808a^{2} - 117886413145725976053358993716a + 568100316378298398470114895336 )x^{8} + (319282646431022097943456903360a^{2} - 252708441589144346474936089280a - 262079678809755765535439487904 )x^{7} + (404262807765053073952563306240a^{2} - 359092403671371374576260665168a - 489045726475726612524187865216 )x^{6} + (277745450541633854908558418256a^{2} + 547878687269861506427863959120a - 295365813047058445716561832752 )x^{5} + (-605287482530471037077148606888a^{2} - 598235650260355366541729586488a + 186682884372987643725014047536 )x^{4} + (320372857199279273876338238368a^{2} - 561538334608035831628689626752a + 432471941000615001722393014304 )x^{3} + (484531188684322553507027538176a^{2} + 328029732943478801084818599776a - 449514967031464758818439436448 )x^{2} + (-344870366716980763415622042848a^{2} - 287519043873927909507810705280a - 187142185945719086898947976000 )x - 505486835901433138610601273176a^{2} - 15411963865672057915781735400a - 72185128268375545894144236316 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary