← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (75236063575200841198609889440a^{2} - 448312952917108726347016737852a + 221890741659891076003327183696 )x^{46} + (-356880017329753924610967329496a^{2} + 592782806246807850408752342312a + 49216948619299244513546934704 )x^{45} + (-160658686121800737573516788480a^{2} - 381724320182592612318573466248a + 240081876503845529391959413336 )x^{44} + (-513905015305057224763468145024a^{2} + 47511036827762067521310350048a - 2152413869640822490302537696 )x^{43} + (-465470497730957162150253526572a^{2} + 331990274889201927430028812404a + 429013831580614750315972278684 )x^{42} + (-408511639131281237696018466760a^{2} + 94725365899727989061221322544a + 585834617442120510987575329760 )x^{41} + (-58616356730367589276617780584a^{2} - 322290784415274781942469942112a + 39192739418798627925823909640 )x^{40} + (155240420040930610693443430800a^{2} + 480569987084065578765890339584a - 558967033797362954961059114560 )x^{39} + (303824440871929377691639667016a^{2} - 622329035153881436328215475824a + 33616569392404655561088011208 )x^{38} + (-616248679453928823494626496872a^{2} - 429745742726009719975178900568a + 238280408876320773152888613192 )x^{37} + (411930673899030298754000893920a^{2} - 563152290358436811908472114644a + 285353983819795236389484888488 )x^{36} + (-414672455964231111210342200224a^{2} + 435847364965418712229399787936a - 37522851013044632238275626496 )x^{35} + (-438895912728555731983511071312a^{2} - 470318558426302098026759297968a + 127150467338539332588377010748 )x^{34} + (345267472564343170418390345984a^{2} + 245553633172059360734323914552a + 547026372288768723918962258344 )x^{33} + (-469592889946691168387125765400a^{2} + 348546256521738494110360939278a + 177755275866530680426439619408 )x^{32} + (-138890824737405014459999226928a^{2} - 459725457908985538984320985888a - 48584391890041266392516525168 )x^{31} + (129176903729805607588125012232a^{2} - 494730387405353627320907951304a - 177411629899027147345153046304 )x^{30} + (-554354509935865855817516099360a^{2} - 391340893049220658387762551784a + 3416943165744707612335452920 )x^{29} + (-231292018084756698047322241860a^{2} - 604397040019928407294431898028a + 400046015395467744870553586568 )x^{28} + (-108830793795759006020798746928a^{2} + 384966660677669176252236199392a + 325143112316291985890635796080 )x^{27} + (-70070457607930448936631826472a^{2} + 209819218597121388651814710040a + 473811425502387549683641300592 )x^{26} + (151746034215367362307885009328a^{2} + 109984611375085708353124769040a - 31594010904487968789774880592 )x^{25} + (-623035966934567549319907239124a^{2} - 272930833408490325632604415276a - 399155345313631679724816605012 )x^{24} + (-24557414210730544002207923392a^{2} + 548502708778987415595807532096a - 225050857300323668007926919280 )x^{23} + (136476165912561727165388627568a^{2} - 56067463710347368560529662168a + 603464849388847116862723758368 )x^{22} + (-8423856461904668846812094944a^{2} - 135143250349284556475860160080a - 572849787103529804707918291088 )x^{21} + (-216784207163805755424813746072a^{2} - 66209337693961286213618149488a - 522688327621831464788391895792 )x^{20} + (-214695095007147878085766635328a^{2} + 261559902249832992388523014720a - 528377270253369921918206131264 )x^{19} + (547655252069812561510088179592a^{2} - 496346607007412457892367004640a + 300744854486870464948595824648 )x^{18} + (509817222607817430721931860672a^{2} - 43763505487648069292767687744a + 550174310154040992940674603920 )x^{17} + (-162811176531323937514116050916a^{2} - 424754243233288944814683073536a + 28773776760967930353280544792 )x^{16} + (392820147203099260254368731392a^{2} - 81215146134418858056947835168a + 437698154936508635483118891904 )x^{15} + (-23195724494903890218690609288a^{2} + 104322427176804656843347927192a + 294659388560178335763151093792 )x^{14} + (-592191138753995358451381645904a^{2} - 472695898493892909551679101072a - 51920366871553320606038193152 )x^{13} + (-560793688148673311336775517816a^{2} + 151742948633154084421957930192a - 288469794736160886425481303544 )x^{12} + (-120117342347513451361680066592a^{2} + 446803764596599454512070111680a - 180756678114270845792936565984 )x^{11} + (-206386226510854463367427441424a^{2} - 103349106070258615299279167888a + 474311652019382010406578133688 )x^{10} + (-18707892160353064867377492288a^{2} - 193551645008459268080616969200a + 39763733995067007415027011888 )x^{9} + (328541198910864455595059934352a^{2} + 31561900680794731559797634444a - 212915408880627797622352329928 )x^{8} + (252789725336013112668206225856a^{2} + 122715727650672577745545988480a - 527294818248778268238214932384 )x^{7} + (478776948975536318316838684000a^{2} - 413761618324799048979844388976a - 77293956138918377871355468480 )x^{6} + (597363759435140390727919275408a^{2} - 417192878264025196147290214576a - 556940140183388937060598527056 )x^{5} + (468794423630738456240533717048a^{2} + 549439201215863980363168937512a + 432697651416436130153643217888 )x^{4} + (626094540906455942039338497120a^{2} - 366259418514922852304409469568a + 79865507712272264244046730144 )x^{3} + (-297506070519807712774428919200a^{2} + 63404380114891516368919453632a - 300689218594438444086441980512 )x^{2} + (54936005430069467872602472544a^{2} - 363316679378125237406218288768a - 523591764230385155809461707488 )x + 16469729636360910693113624776a^{2} - 40819887422331564780109199624a + 88255228580354093741190215716 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary