← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (469152567787890092772284422184a^{2} + 261878344555200092904571392104a - 449173296163344448569217352244 )x^{46} + (141199993881541741909048641176a^{2} - 602808783601173738016521549544a + 72547308212606020559383128064 )x^{45} + (-294019418221848570991390030636a^{2} + 316198884773489355395027874720a - 308603378185751948556834907564 )x^{44} + (358174276683463913746113660968a^{2} - 226850837887792248006262044840a - 263592983256812490390496784728 )x^{43} + (-285260342407641119801413360472a^{2} - 590925400602150521580972781020a - 502719733218875424220973829208 )x^{42} + (-478650477115157584142611865312a^{2} + 162598560393171408939160738536a - 308964056523163584911289381032 )x^{41} + (-261378114250047840503735751992a^{2} + 328960014640968796045953856960a + 43999757215181088398255571064 )x^{40} + (-578672903709299052584561001200a^{2} + 409906232018556732682455547392a - 264087992261490423763233240800 )x^{39} + (-545242391172828273318401853456a^{2} - 398275813852535525998342957764a + 394113180706759822819343172556 )x^{38} + (440303764911273060748886593328a^{2} + 595755889632699635018760461584a - 21475452663058948860185392296 )x^{37} + (520404434702670959620721844020a^{2} - 231380849456000006815006746500a + 587283477289915274573728362168 )x^{36} + (-177421863801663077023951796528a^{2} + 392662909354353985813945333712a + 477247667009526736958423722448 )x^{35} + (-332801075739564797545876392168a^{2} - 107948389662282360817736100840a - 320804884188232361574768657620 )x^{34} + (-177149060692308199267107482912a^{2} + 351671171163179678229008622952a - 436800194918126209598103754424 )x^{33} + (56167451447625672525630651706a^{2} - 273311813385645746924841102174a + 488695705654786440662031824790 )x^{32} + (-305221564468877473214670595728a^{2} - 139610015801227564451130098224a - 387421568937264228420042546448 )x^{31} + (-22160991269105327884696853680a^{2} + 72706753752965492381625364000a - 365948884075274930533507742312 )x^{30} + (69972850243779083175701713544a^{2} + 471222010525708387638239667272a - 37157704584288499482133648776 )x^{29} + (332965440351353125022122934604a^{2} + 246947560640649740698962221512a - 253782224932267113347192689872 )x^{28} + (543877708363948960698992837136a^{2} - 337948966787894908790723058192a + 281207496036481874358388877472 )x^{27} + (-459935502012572633732778627624a^{2} - 400958439006449730933266976504a - 72647928569304120860373684216 )x^{26} + (-229630551230653106043099504024a^{2} - 65901319502762758391429255216a + 364558313230141725645867608656 )x^{25} + (-597960646715871098063631259384a^{2} - 260816486863551599022868852968a - 442457093523047446952143121376 )x^{24} + (67654603534974968081036107872a^{2} + 22836647351029931134718480160a + 524171561490106962993544959040 )x^{23} + (-521978081837489594586755706200a^{2} + 553404313660470054776995089552a + 51255204765072521206209127896 )x^{22} + (-137518795450271677266195277536a^{2} + 45828031000923657270787604976a - 518936864324066231131134605824 )x^{21} + (632517418789062803422811648256a^{2} + 589196998716319471884461575736a - 357344011432118468211219003600 )x^{20} + (-360944698425957687781397593264a^{2} + 381859357773779188674803839568a - 569198804734937574222848801024 )x^{19} + (-390800556250440984827770838808a^{2} - 533217826136085697681476288280a - 478846128555250265395556654656 )x^{18} + (253047540716593610158938757984a^{2} - 103197625418066253826717195184a + 30596067553647179536293401792 )x^{17} + (54108035172588668288404748072a^{2} + 367179550031126043362125601428a - 578234511411825832338796659836 )x^{16} + (435917480209878785582294351200a^{2} + 199080180462883989841140305472a + 212382293336021779044049470720 )x^{15} + (-351905201243466566855980260672a^{2} + 56355519045876362724534118368a - 432095942497445641823346745312 )x^{14} + (397513363586101723814301318448a^{2} + 6679380660776140852683670336a - 555206987432445059380139968880 )x^{13} + (361008967815289488111151030608a^{2} - 101466492701113021158355206408a - 343998211407721857158913920352 )x^{12} + (282749797305746090329384705856a^{2} - 466836074168006147699456488416a - 213527097620275881637853266112 )x^{11} + (596016558715380937604082196360a^{2} - 11255798965549369355880862992a - 13138011394022624109870558008 )x^{10} + (179843147809281487072147067088a^{2} - 627101577452648003565328057536a - 565077745262935386368305373840 )x^{9} + (-471031197146228177612300229908a^{2} - 65830886299324811571241143612a - 510750143489639014797416517768 )x^{8} + (-517494354561419708741840314528a^{2} + 248631255771058539521621327392a - 81229148001636499124050565504 )x^{7} + (-117101186814469924084550224224a^{2} - 163896603864217513565861280352a + 77387201414464809232252721152 )x^{6} + (461775385474155878429566264448a^{2} - 87187834309570316231384263904a - 485962821663911752898879275040 )x^{5} + (165880847884508056419556170416a^{2} + 70984847143802542883141796584a + 234432826781316094335943083872 )x^{4} + (69141288471162612891351818400a^{2} + 528345842829627952669049144096a - 261532216063043420064053693280 )x^{3} + (506165162132066336417880216144a^{2} + 171816463864010642880674384512a - 19672387733332894851331232608 )x^{2} + (-13595157551063144766038667808a^{2} + 504414027585772932183655367280a - 629671840077725832590722481888 )x + 83891406287044778045130875004a^{2} + 604736808077015840584930363412a - 87870059934796159658362609028 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary