← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (245661418752481114578079517104a^{2} - 492144779275898035135319301040a + 569778242284864199600134815372 )x^{46} + (-267994831482644200471936572712a^{2} - 86813779561678705271091137032a + 117613540443045745533145681792 )x^{45} + (19024452213414687027394042532a^{2} + 402137761989219638351641484624a + 47888280468314369554945833180 )x^{44} + (340206614611048743723544940632a^{2} + 180879676819139669748869959320a - 48250635623336877750032523624 )x^{43} + (14175598815148307571402487312a^{2} - 393388286731727441560660937828a - 130316998437538701060673801824 )x^{42} + (-551154789215734559758024742440a^{2} + 278233602293607105115118235424a - 438348431510614790169872645832 )x^{41} + (362488761078872066961507073600a^{2} + 508782646104589655096814579600a + 562223372382859132630436072708 )x^{40} + (225865404755232379033746451184a^{2} + 575568068679178100343405393728a + 407457601778598255843129178368 )x^{39} + (197778038681935748109835229744a^{2} + 203884877409659745176176557020a - 22000982971175000356834959860 )x^{38} + (25891891935988023552697564720a^{2} - 453950080415393663624400297088a - 119898624196600521581460043576 )x^{37} + (-51847034023046359645840870860a^{2} - 71006857241405754987468990860a + 363334040609071581074352217432 )x^{36} + (195960029307073727691561394064a^{2} + 21858164720327503432752197840a - 146074392271145815173871028208 )x^{35} + (-481120371676637930641186516296a^{2} - 69198526773770160839691423384a - 513282342966253459201343209948 )x^{34} + (379633919365424557426174343552a^{2} + 521153777736857708558505518184a + 138708402638647040528625579176 )x^{33} + (548034121683587006127043139318a^{2} - 386159133659698556283452253798a + 18691604397488551232774164822 )x^{32} + (369891306241886382180940014256a^{2} - 514942891997484612895542588112a - 514828113316711219006985553488 )x^{31} + (-170911668093630027582133893328a^{2} - 96761690308754836511905940944a + 586225756554805028802188685352 )x^{30} + (94598674691060697032869843016a^{2} - 316541256819062199204891052792a - 199550169218152292372853135144 )x^{29} + (-580486698973301502823343030388a^{2} - 353437675867388105961513662600a - 31443688811810781578360432912 )x^{28} + (-375696160319080704142861783216a^{2} - 247820400318198292025586613424a - 433128406985211453402458337312 )x^{27} + (-489785732139987393651427331960a^{2} - 624147096506300866732193528824a + 115068830708051154669208934376 )x^{26} + (-493639060990273404941179323352a^{2} - 444304678918778656222354221920a + 342543028320595284124517533888 )x^{25} + (528953784423062030703914689576a^{2} - 549563813363814325197667664160a - 256281163410506548499983644856 )x^{24} + (510694292382426068421909245568a^{2} - 33686955645748453406122733312a - 280560686207937851737401063040 )x^{23} + (103694819132950863534725736824a^{2} - 221319489348058932468765636128a + 69052831306759634529889675080 )x^{22} + (-103286568165487018060009239616a^{2} + 286958825474245319845252891856a - 363163839831399456027028031264 )x^{21} + (-485714855216000639470641584936a^{2} - 307459806837116060955707226824a + 436652718439137891632193326848 )x^{20} + (-474131861249564972849545933520a^{2} - 318101180554790078464585450352a + 471485869327092015084569339232 )x^{19} + (-78012464551722983376464628744a^{2} + 624099188256058388865708367416a + 592853362252039435756387881968 )x^{18} + (-420837231203257775120039190496a^{2} + 205983868829691106263205580976a - 201011249473872961318770624768 )x^{17} + (-22271991026542962908810605856a^{2} + 126696648967735139537181594308a - 518902780363673354291589988500 )x^{16} + (486877562432054805235035818528a^{2} - 34451077737095303989711926848a - 450281913071510994217798080192 )x^{15} + (232439110039296251372904571808a^{2} - 556550349682100872228294920000a - 426317303675206235698102375136 )x^{14} + (-60716215236217540262554815088a^{2} - 58990587241261756967547771360a - 259584339938777421250440539760 )x^{13} + (130607494614482072977839682080a^{2} - 273189998746916622635520032936a + 104638893426803838917186956432 )x^{12} + (485047975837339794707065703776a^{2} - 55479492027547098277978880192a - 587039605904218062288720971520 )x^{11} + (387989020142121676491212389368a^{2} + 250391398366672589020428232960a + 320568871244295871248155570568 )x^{10} + (514230821775280693536951715824a^{2} + 314269556024231087648589965248a + 35346136454639381898417512720 )x^{9} + (223564500874442594582541835516a^{2} - 371926955738427436619091161116a - 488121272779048241417145431880 )x^{8} + (-2942331468118128475690363744a^{2} - 567631031175507608917994544864a - 238687425163587692750847523328 )x^{7} + (105769844084108004746292435776a^{2} + 570398221490958586147564562016a + 259499561708734918989639989024 )x^{6} + (299866045980559070384245826112a^{2} - 601576214403329773968339095232a + 221348984306357469735805704096 )x^{5} + (283212547815672883469193922944a^{2} + 599218866626755275238074240184a - 631200645500952862954124226992 )x^{4} + (259115617124789300341581584032a^{2} - 119732492250704948021307071712a + 103712616685800205069799436064 )x^{3} + (539505264760410419407763241712a^{2} - 364424286269380714737866673248a - 408127754348438567865455823216 )x^{2} + (-179964955496620930443109965728a^{2} - 343341507029549682961651239536a - 509082887508904244797705788352 )x + 35402706371953660569277908092a^{2} + 346671505004843763422330467236a + 298639323251845953450726004236 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary