← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-151635402035767036470309725560a^{2} + 255865270197509208270393331296a + 446965663232682715513405524508 )x^{46} + (-75191246243123336487495992328a^{2} - 22770856891165228612060870536a - 616085371117853027564861474528 )x^{45} + (-424853182816616270042954951772a^{2} - 72942443334861986614112897048a + 476899131688581848685599925892 )x^{44} + (-449786680747982290096579945768a^{2} - 91447239188277116090410010520a + 562082938834893967339312316136 )x^{43} + (-50167096273351211375844816536a^{2} + 163667562618523202673071735948a - 250696377107337604475315224496 )x^{42} + (-62961546973989526571189502840a^{2} - 47221101575579120699131682688a - 2636224749984432146334920624 )x^{41} + (-584175936199542180356636196652a^{2} + 140877749281744339159765260328a + 315145914930506031012455642420 )x^{40} + (-8785783373925777080372331728a^{2} - 585851200086267618070284079968a + 451375626581400613227063748096 )x^{39} + (-543057599134962504420643190096a^{2} - 518211124454654894073278463892a + 471142610785333241115994668236 )x^{38} + (364167271060241234348577631440a^{2} - 17336497359143137529217541744a - 395622679277954592947448522392 )x^{37} + (-261922827981417512994456711100a^{2} - 32677591479483870626850497276a - 283408552224447410365499491472 )x^{36} + (61388072580481217007879023024a^{2} + 601159938307781842211030199632a - 306244667185206556492872394864 )x^{35} + (18237298056680194442004544200a^{2} - 325028602713791995429252463752a - 448176136663304879012006505348 )x^{34} + (-372244687734414422283557623648a^{2} - 49853328655256547970188068104a - 620466243891158393221584624616 )x^{33} + (419869769669919615490876592054a^{2} - 417495160341265580917573999346a - 71800462343786758706813208058 )x^{32} + (454540272481623134987687822224a^{2} - 269342415651632336676493023664a + 422026657301458062538565325904 )x^{31} + (397242944203515211615678086848a^{2} + 79741697852743685038751893040a + 42299017677951736093657895784 )x^{30} + (-354110103313907899606653681368a^{2} - 514716292104131672694284581016a - 373803462119459504863229323688 )x^{29} + (-372941323589674547779675813436a^{2} - 285586248202622078231135053248a - 328311283218545314136044498320 )x^{28} + (307929765309434849254511645200a^{2} + 135726695864509789045871912976a - 67128649881818876177361801344 )x^{27} + (-547257163251082121909116055048a^{2} + 603993377246660834282335078376a - 475918882370433622472146748248 )x^{26} + (361775332396515159763905050168a^{2} + 187203609060900641289299695872a - 534994936859673282171557864592 )x^{25} + (409710935859161356144623020888a^{2} - 44736546321966587435523125312a - 452066468218963444437504093816 )x^{24} + (-250378573672181280283714038144a^{2} + 242077015127491733483446540192a - 67670176143503099958004887264 )x^{23} + (542959825508823685267332062024a^{2} + 360029040798375220781232273120a - 530315207816438114044841029976 )x^{22} + (-508343562137957918865538206848a^{2} - 622915782892154727963604082672a + 358606825172571638813557804416 )x^{21} + (482439539437874905216272206080a^{2} + 212184554847125921833732417376a + 320529514082032633565954371952 )x^{20} + (509767438978654152070873741584a^{2} + 183738739777655028032935526608a - 608329962688374053976476948992 )x^{19} + (-46330227511835364987232208072a^{2} - 120594269621945414731443272344a - 159954790358184715413016618752 )x^{18} + (513284501442041475841739917440a^{2} - 456728815167597523818898872432a + 511055474725750620013073926720 )x^{17} + (437882877738419790210236907600a^{2} + 298255713815605480054916502604a + 262353032142774531274105745228 )x^{16} + (227672455195288513767949109024a^{2} - 453509920586452439710227334720a + 401840753761884588807460256576 )x^{15} + (-570969217602153747830880902624a^{2} - 143750341800650812007122655072a - 443523959834800618277229842304 )x^{14} + (-167898481998930327352424631888a^{2} + 375454807665400243364421090752a - 231262706541169135206724720496 )x^{13} + (-154814617271221748957266878208a^{2} + 102169988928318670705923109976a - 469945084815117593716234965776 )x^{12} + (-381306986146125708400433182400a^{2} - 164826247628370308247686566976a + 227592207603901168752892298528 )x^{11} + (-28472961441106964721434944168a^{2} + 135749975836356578209906439872a + 223681691814572034025061721528 )x^{10} + (622391419434702237908672895344a^{2} - 423036299955463755083313048768a - 499362156487504811056028620048 )x^{9} + (-489899240159092637183272074484a^{2} + 239537166905452491153606772548a - 339634516054010318598008241448 )x^{8} + (-386130781025025989300818062304a^{2} + 130060057337242553701161370272a + 211688675689721357732158301696 )x^{7} + (-209627996860997004790072629696a^{2} - 620441571346360671069590084928a - 212250497642842328197521813536 )x^{6} + (-94343682502140568792675121664a^{2} - 501430555901838736779168547264a - 504775467294021747639337333376 )x^{5} + (484804773462265744701413474480a^{2} - 615971345392524563858477511208a - 48042235060203034207006725504 )x^{4} + (231332847469812886750930770528a^{2} + 182460930383694005400241160288a + 55924707085255519134655350560 )x^{3} + (530282216069731917359199078224a^{2} - 10680499906447657376340962832a + 294259315310502046234003454976 )x^{2} + (405510193438114227720130652384a^{2} + 420947110558022871035919746256a - 59713944766916962238982714976 )x - 95802241774547217639584086916a^{2} + 559313005118933666090411822276a - 211877520546481723652347424580 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary