← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-170306314410706907747996289152a^{2} - 81068908785844469564426058408a + 414225396421971142873869123468 )x^{46} + (287519396086137499893795225336a^{2} - 500708904913787227504810186408a + 464416034491109424539710529568 )x^{45} + (-28882119577887839069031031516a^{2} - 266997755457984492257014018616a + 362750540958490891340179130124 )x^{44} + (620994784519200094022127564584a^{2} + 322059666446917526770213057832a + 511119114051261210677792836888 )x^{43} + (502135671457154036398510765744a^{2} - 145937534402475918033403445004a - 92687382846999587746815173272 )x^{42} + (-563002621552701310780096865600a^{2} - 497075771368855583282524983640a + 520276610559214495466036667952 )x^{41} + (-483088104221036176496293105644a^{2} - 548195154713519169850265242312a + 276461026867627010118890205784 )x^{40} + (-267229356346915992740271794800a^{2} - 171862284172373735679766119520a + 610112777700844931605328576224 )x^{39} + (287506377838421703445119617648a^{2} - 504182350056624393402256973876a + 182092656004815619112555995756 )x^{38} + (613957523392092279427659521808a^{2} - 137082743259659418978780338400a + 596909987114303729697467614648 )x^{37} + (-493642951752130057635007894588a^{2} + 43513564866215795508987815164a + 521178072842174163426724214768 )x^{36} + (-287515717662682189270426010288a^{2} - 122672152307916139070212510256a - 450737051916946731193521123312 )x^{35} + (339490608763666193343587796840a^{2} + 424348513556967146883618632840a + 298008780824687971263844466516 )x^{34} + (470601517413463061022195118080a^{2} + 177135156520747490424283221464a + 161016933581884972847399028408 )x^{33} + (-184012679380851892406351691078a^{2} + 392545189893954882374246275358a + 372794259132742120741122384886 )x^{32} + (128721005867208564923458648272a^{2} + 62830266925213769743664378928a - 390706783825399978511362567472 )x^{31} + (170017246762096507021008251488a^{2} - 65312951408547744717240576512a + 530649750747654118368434335864 )x^{30} + (427896116220270880384117382312a^{2} - 561626343571975641438355691416a - 618896011680819788409682033544 )x^{29} + (181871409384423865857738498900a^{2} + 491132678102560587420408966592a - 35875186783169918498045302480 )x^{28} + (-522492520495536927153076354416a^{2} - 490043064188755150813723357840a - 382408991554138683425211474560 )x^{27} + (106709227935120700202167855784a^{2} + 478933222750296784994914914600a - 221417093963945100309357338776 )x^{26} + (410240576513118127949766053144a^{2} + 164535770267163342106083495344a - 72184893289496540888502322240 )x^{25} + (-465853928793202185349963121784a^{2} - 610618160588060722534079600456a - 280121049197449660478413954768 )x^{24} + (-501277424775142822268411610272a^{2} - 307035929614968189821339972096a - 515095511992948193109035449696 )x^{23} + (576598325896241191800175359832a^{2} + 606323945329445570979463262224a - 428387723741408022100787196904 )x^{22} + (-192771805046263379564645007008a^{2} + 301757518115777659168016610032a - 385403673038043101503876226400 )x^{21} + (527874447397665152998448045384a^{2} + 23917313786021156389347526656a + 508209008447512204955005937504 )x^{20} + (606386219913745928132368627248a^{2} - 281676055207017934198022875696a + 290664106256807769243685290208 )x^{19} + (-180745548837462349933636470872a^{2} + 24528065022202838126736860920a - 203291439214691080493765246832 )x^{18} + (492512621720097179007655207264a^{2} - 153844704457470949308401627568a + 423255358564154725860559068800 )x^{17} + (253286215125412156182280448920a^{2} - 176858287866273650376101580132a + 542167237148756494771583457588 )x^{16} + (-607097854349754405805944389280a^{2} - 168518107672145286883493104192a - 175251621968699802300863100672 )x^{15} + (450692674933447857703350451584a^{2} - 254266035576300271250326339456a + 540056964341971451146631372608 )x^{14} + (-344294094075850202994570983088a^{2} + 539578304349733360818374503776a - 453591604397938611102809249840 )x^{13} + (-337048558390108281255133988240a^{2} + 219622503022216395067753012376a - 39929618064765992618126966400 )x^{12} + (518993178265441188287797616928a^{2} - 563482780303691636932623789664a - 41669282040747015368392732576 )x^{11} + (-204005381961487985486560321400a^{2} - 180265192797167439983281042928a + 384279738396426349038328683288 )x^{10} + (-553031472541674504652581630320a^{2} + 182950487973867726063142521280a - 389873524110223085208885887152 )x^{9} + (191558297690516529268006516444a^{2} + 80007442944126082789406091076a + 488228229669688792641325945816 )x^{8} + (-145221950147704000285133105696a^{2} - 292941026760080995308124781408a - 584945981957084416929103694592 )x^{7} + (-407117750178236433639050460000a^{2} - 33520594178908745910535918464a + 366069091423980667694692116096 )x^{6} + (-135985576067136294651977159808a^{2} - 179797008444456071844475100576a - 67445021977088186866312029760 )x^{5} + (65945838290017390658710483968a^{2} + 341791494650038047124772094344a - 38584596237163589195822946736 )x^{4} + (76949312589454716153305191776a^{2} - 477203597135295016551458426272a + 504544561334469401513097426464 )x^{3} + (-585053969041487573976897649712a^{2} - 476793346846266384215407823120a + 90794166346145804064975415984 )x^{2} + (331791414584533631473433742688a^{2} - 346680203003659558827317318288a + 9616206175388608396517997632 )x + 439971847491611675159503141116a^{2} - 285778758885646180119967373324a - 152358834229938914625205323924 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary