← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (256099919399549023317596027664a^{2} + 205110598374273149184719223628a + 417620342706001826083776409912 )x^{46} + (541435748953760607012385682936a^{2} - 140994694299389535859603681640a - 557889299761427630861057011808 )x^{45} + (361363398748889852319321894424a^{2} - 24494313474744461083057256264a - 223868713359699243327988921760 )x^{44} + (-372252158009114450152162574064a^{2} + 527581356929703748896836174960a - 35120725934994704659830352512 )x^{43} + (-444267656888933902765706549028a^{2} + 395538118102378618122352539532a + 153224129998967374397255222780 )x^{42} + (430070524698765356490120532272a^{2} - 231837586148535274835957113688a + 157345657939089773770224340944 )x^{41} + (-321125686873523332457535932440a^{2} + 293452564953302721809284082904a - 418649433195248645077259087332 )x^{40} + (-273745704256209926679102584432a^{2} - 367614631060243080843132814496a - 597980837436364302936937268448 )x^{39} + (71867389391046232473320579552a^{2} + 607573894431931634611475485456a + 104764307467493057077554689232 )x^{38} + (-27343269279757287956482983208a^{2} + 57001486195169886261536888504a - 204198577222756778855962087048 )x^{37} + (627930137056161177836608668688a^{2} + 165586362272733178986414340156a - 62243799757079598646605875264 )x^{36} + (492011223342512016605232428768a^{2} - 626207452197658075777923306096a + 525054679194173775485644807728 )x^{35} + (466593443604862621212356687520a^{2} + 302609391720232016745355320816a + 147658679287426650817308840924 )x^{34} + (428899676749654708184064785200a^{2} - 196894018933975581739566679944a - 353671348319180302324034939240 )x^{33} + (603106228065217944642893474944a^{2} + 223514797390163104321782224618a + 109251306319403317590444762724 )x^{32} + (26727700447016987836859956080a^{2} - 41826262060543547382592748160a - 567263752099714570533915561936 )x^{31} + (440570296374250722782848690824a^{2} + 175751345730893301182791998456a + 272523830763322809923858126368 )x^{30} + (531959040164487419275757852736a^{2} - 421063283570119173465310848744a - 91384166393145251337563314312 )x^{29} + (400285571546189542713801786964a^{2} + 391338022334610041611830381956a - 316193082927871238413631406896 )x^{28} + (552407402630213584179789099760a^{2} - 542866113912921529976512296448a + 533495607837555696735818670832 )x^{27} + (602240014966671158935481318560a^{2} - 556209647185794018291753866416a + 259806941327358223383168755816 )x^{26} + (-462021045529803384005730353696a^{2} - 395629461496637574948375316448a - 397206990850838855411167836864 )x^{25} + (384252152548553888579344104292a^{2} + 62222783224078035841628931148a - 167433573685475415625601757332 )x^{24} + (-626765967529953740568287899488a^{2} + 65082927826866485422295042016a - 541630166204932351908840231984 )x^{23} + (546657919205340995344595703536a^{2} - 245671104458742911832539600712a - 83208072440467304630831959008 )x^{22} + (216977397348389141541074322464a^{2} - 287838565735460794433915797232a - 566181463976507403257598545040 )x^{21} + (-244215328048233797602845262304a^{2} - 347606863999169889629906963560a - 245242475060903032402756974784 )x^{20} + (-147339542497998865936416716416a^{2} + 286944134824731696986884175968a + 211653778207436749333670635680 )x^{19} + (-550396514351002586463002325896a^{2} + 242254528977479721410435797920a + 383636308559283536308443249000 )x^{18} + (602413372720786187563237409680a^{2} - 209628252464931012932509090720a + 7752035855459583782376414144 )x^{17} + (-84981486767437962985905786308a^{2} + 326075410577692435263551788432a + 217122251189818543424234780384 )x^{16} + (-366297107305399022199639925376a^{2} + 558755300490435930958581432288a - 278213856507246759551369209600 )x^{15} + (363244950183293279480229257400a^{2} - 269233598778472804225717525096a - 361116499830039659360190349408 )x^{14} + (-431903941572594987765942359184a^{2} - 547091291031373723819166647952a - 157102023829445723113601164896 )x^{13} + (-483317292255934474351244186328a^{2} + 42229189973248762075852064032a - 565259813725133771024064761000 )x^{12} + (633726601231101911094877778368a^{2} - 276533846243943757330307554784a + 477255167262133604155203855616 )x^{11} + (-411295897491397667859844982592a^{2} + 115229023718496595990794578096a - 63528048073035152575841917576 )x^{10} + (-489024039902549108725257334208a^{2} + 441738348973544005582450764784a - 369095196927438550421419545648 )x^{9} + (376548897460680101681074978688a^{2} + 150284608392415960315224367324a + 394705353587813951816426731592 )x^{8} + (458830530891203193265282979968a^{2} - 630114277265683277232017202304a - 557643176735148809946618938848 )x^{7} + (360141213082781552523514207552a^{2} + 459693563969049259142030132976a - 485319167212701561611058250816 )x^{6} + (601276181683784141587747802864a^{2} - 154451223551680733749291820240a - 339177966881193775768163274352 )x^{5} + (-306128571452102668515378344424a^{2} - 188664808104209374959497845176a - 612422636954656213895462602016 )x^{4} + (-304008119024506417998535299360a^{2} - 108266158633815781963544060608a + 501206953986512933926314946720 )x^{3} + (223015376903810422194039075488a^{2} - 513830895488914913479094878528a + 299570676193110318343445738336 )x^{2} + (-208162364964750386566509124544a^{2} + 33757720924238669001310272640a + 631880386709070775530156259008 )x + 271776986242297093921867244536a^{2} + 31161882625914450855781624680a + 251286352911227169574948898836 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary