← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (606856143975974676981651009856a^{2} + 369013293092460893735451418796a - 609686069416819202802684219136 )x^{46} + (-244998236389628683880259051352a^{2} - 462542707384977965849201975016a - 174073075647385682932580468896 )x^{45} + (-163216667169073178785461565464a^{2} + 307242188341658021325982481360a - 42657509528413265278358125072 )x^{44} + (628403739425519228234039025072a^{2} + 194451145276478595538374090336a + 392573175436625487289429247408 )x^{43} + (617653553326932827863837988132a^{2} + 272565761970392128566714732380a - 284346377879367517417330249172 )x^{42} + (425493127777724617413697221944a^{2} - 516093146010493986224530857280a + 195353696011900162249891320360 )x^{41} + (-111039180854943881745085623780a^{2} - 46785853917285163135648845476a + 269592703416472992314004760008 )x^{40} + (81892509527073302247198459600a^{2} - 518670436804568316262170350176a + 147393428227244705380310306208 )x^{39} + (500053120350657678582066797072a^{2} + 269714230359655689454170662856a - 440743908981058224040086474736 )x^{38} + (526116772487623293170012108792a^{2} + 207518870088426113960282958936a - 258968351176891733872471944088 )x^{37} + (-256434084645799319560728026896a^{2} + 216424923493929269369777469572a - 463641939821397818143069222560 )x^{36} + (-94266820089042332394444320448a^{2} - 233731998758952177991649168416a + 32981545999866142509681657104 )x^{35} + (225420095253886647679542479416a^{2} + 27461128708184274333509667184a + 266129597952813685481554031780 )x^{34} + (-447602761174992787626796394752a^{2} - 388478091559705510440831892952a - 54018727363868236271775143512 )x^{33} + (489461831021278775503400357708a^{2} + 438918686205858449732546756142a + 159167852078713849080801516920 )x^{32} + (391250199686167024621654368432a^{2} - 210871064314159269960871829504a + 272468440566393655490918776016 )x^{31} + (507976437187844637103904696696a^{2} - 3959013340563602654966484376a + 172097592503272180282201073552 )x^{30} + (350947889813490541116801431232a^{2} + 383166583721430194586432163192a - 218033750673796626744111669864 )x^{29} + (-403503251377340972418119081484a^{2} + 459883453471699657148537813964a - 372674361453455387975739274696 )x^{28} + (177964782025473365349335293008a^{2} + 435445316528631725940120505024a - 350310952966765361408512265840 )x^{27} + (-237188464392669981719767160152a^{2} + 362951752894964002724170760832a + 465964569277154575195867756224 )x^{26} + (-184931435321765840713437760272a^{2} - 583027327758360190562296343488a - 32031481342759443275971644496 )x^{25} + (-94118461145786051576403899956a^{2} + 516277104836573573518955227756a + 518038495939202962936685948660 )x^{24} + (44141808349166113574548497920a^{2} - 299713459202036315585775815840a + 241793508069948871178730695728 )x^{23} + (-7871552435441932663038633424a^{2} + 45608791726782220364675860680a - 508380779109003241489876845664 )x^{22} + (-14282643391552748096561243168a^{2} + 377275237158008856161328941136a - 364483017705930061532054684528 )x^{21} + (618537692413891291396368071720a^{2} - 114853462001898126146797637368a + 64661388533522467460259227792 )x^{20} + (558062017288623288418667930080a^{2} - 212347813229539800737128765760a + 339989508387562550873706795328 )x^{19} + (-276493811900142607702489013784a^{2} + 29394993399642934855510148048a + 120663693753545830288878298280 )x^{18} + (-114225336381895518196506647568a^{2} - 402491479386005924723119739968a + 465998665509206620385255231280 )x^{17} + (-280758883467275444051550953532a^{2} + 441958713075222726835674750216a + 350760817906161779178405353368 )x^{16} + (197240077768588549886596350976a^{2} - 247667712134308992496042110112a - 137420113724705301131619180288 )x^{15} + (153745480386399510666450875928a^{2} - 28838135361969628500729239720a - 551681358740017493926533496064 )x^{14} + (-477110397065125749176393025520a^{2} - 125922958663470449092681125232a - 157799944359574102905337989312 )x^{13} + (402867408138310143368157237608a^{2} - 321912955936998752420225421376a - 566278304654096948005334274664 )x^{12} + (616490509846711764271570119488a^{2} - 360265087503335893252776554496a - 300601813636668613315227371040 )x^{11} + (188003438436559831245684190048a^{2} - 547149658156718195725153834464a + 494523377491859068603181253864 )x^{10} + (244737148682398051386092231712a^{2} - 511563226374592244035226875472a - 311747745727029844329921606512 )x^{9} + (-205136551558772422434227474240a^{2} - 524735671360531387321440922468a - 87083505907930909599055500520 )x^{8} + (388963534059538081861241588992a^{2} + 384537896176756882584239032256a - 390441679664237986498736616672 )x^{7} + (-96494643906708920230132977440a^{2} - 721248152064220624868069360a + 317927055192231652561921227072 )x^{6} + (188041485853298627820130787184a^{2} + 267294802413736045363368415152a + 426718560023046984350947854832 )x^{5} + (119986836803977032779072113656a^{2} + 549557146633972641074884676488a + 450476953772315437627887141552 )x^{4} + (491752798785368118469898353312a^{2} + 450894062014683726201920717504a + 49220244542494745125870713376 )x^{3} + (-45150994698035331016286750368a^{2} - 253038678775826921134743021376a - 286450592644169433097706343648 )x^{2} + (-131305737556766741140733743168a^{2} - 270517286348047866511432623936a + 444557618153315900346840874336 )x + 335896751036011855112054980664a^{2} - 480208483118509278226582270008a - 189479982406412066542539898732 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary